《8.4-8.5线性多步法&收敛性与稳定性讨论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.4-8.5线性多步法&收敛性与稳定性讨论（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 8.4 线性多步法第八章 常微分方程数值解8.5 收敛性与稳定性讨论华长生制作1在前面所讨论的方法中,在计算 时只用到前一步 的信息(单步法)，为提高截断误差的阶，每个时间步必 须增加计算右端函数 的次数。当 的结构比 较复杂时，计算量较大。现在指出另一个提高截断误 差阶的办法，即构造这样的方法: 在计算 公式中,充 分利用前几步得到的信息 及，但每进一步，只计算一次 的值。 这样的方法称为多步方法，若函数值 以线性组合的形式出现于公式中，则称方法为线性多 步方法。8.4 线性多步法华长生制作2初值问题:-(1)称为Euler二步法.华长生制作31. (l 步) 线性多步法的一般格式为：-(
2、2)当 1 0 时，为隐式公式; 1 = 0 则为显式公式。华长生制作4-(3)华长生制作52. 线性多步方法的构造 构造多步法有多种途径，常用的有基于Taylor展开 的构造方法(待定系数法)和基于数值积分的构造方法。根据公式要达到的精度(p 阶),即 ,确定基于Taylor展开的构造方法 :具体做法:(参考 P314 例9.5.1) 华长生制作63. 几个重要的线性多步法Adams(阿当姆斯)方法, Milne(米纳)方法, Hamming(哈明)方法, Simpson(辛普生)方法.华长生制作7华长生制作8华长生制作9多步方法的特点：(1) 因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助 高阶
3、的单步方法来开始. (2) 多步方法比较简单，只要在这几个点的函数 值的线性组合, 而且每步中所用函数值, 有些下一 步还可使用。华长生制作108.5 收敛性与稳定性分析用上式的差分方程来逼近微分方程的初值问题是否 合理,就要看差分方程的解是否收敛到初值问题的 精确解.-(1)华长生制作11定义8.5.1华长生制作12方法收敛的条件华长生制作13( P310 例9.4.1: 板书 )华长生制作14单步法的稳定性华长生制作15华长生制作16我们考虑一种简单情况，即仅初值有误差，而其他计算 步骤无误差。设是初值有误差后的计算值，则则对于显式 Euler 公式可以看出，当初始误差充分小，以后各步的误差也充分小。有：例子 ：华长生制作17华长生制作18华长生制作19- (2)试验方程 ：(其中 )华长生制作20定义( P311 例9.4.2:并考虑 为负实数情形 板书 )华长生制作211. Euler公式华长生制作222. 隐式Euler公式(并考虑 为负实数情形 板书 )华长生制作233. 梯形方法(并考虑 为负实数情形 板书 )华长生制作244. 经典 Runge-Kutta方法 （可略）华长生制作25于是,华长生制作26习题 9.2、9.4、9.8、9.10、9.11、9.13 、9.15、9.16、9.17(3)、9.18 华长生制作27Over!华长生制作28
