《与反比例函数有关的面积问题解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与反比例函数有关的面积问题解析（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、APOyxAPOyx与反比例函数有关的面积问题解析与反比例函数有关的面积问题解析如图 1,过双曲线上的任一点,作轴（或轴）的垂线,则0kykx,P x yxy.1 22AOPkSx y如图 2,过双曲线上的0kykx任一点,作轴、轴的垂线,P x yxy则.AOBPSx yk矩形以上是反比例函数图象的一个重要性质,在解比例函数图象有关的面积问题时,有广泛的应用.利用以上结论我们可以解决以下一系列的问题.如图 3,在平面直角坐标系中,点 A、B 在反比例函数xky 的图象上,ACy 轴,BDx 轴,设AOC 和BOD 的面积分别是 S1、S2,比较它们的大小,可得（ ）（A）S1S2 （B）S1
2、S2 （C）S1S2 （D）大小关系不能确定解析解析 ,故应选（B）.121 2SSk(图 1)BAPOyx(图 2)DCOBAyx(图 3)222ABCBOCAOCAOCkSSSSk如图 4,点、是双曲线上的点,过点AB0kykxA 作 AC 垂直于轴,垂足为 C,过点 B 作 BD 垂直于轴,xx 垂足为 D,设AOE 和四边形 ECDB 的面积分别是 S1、S2, 比较它们的大小,可得（ ） （A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）大小关系不能确定解析解析 显然AOCBODSSAOCCOEBODCOESSSS即 S1S2故应选（B）.如图 5,函数与的图象0ymx m0ky
3、kx交于 A、B 两点,过点 A 作 AC 垂直于轴,垂足为 C,则x 的面积为 .ABC 解析解析 任意正比例函数与反比例函数图象的 两个交点 A、B 一定关于原点（中心）对称 A、O、B 三点在一条直线上且 OAOB 点 A 与点 B 的横、纵坐标互为相反数.所以点 A、点 B 横（纵）坐标绝对值相等因此如图 6-1,函数与的图象交于 A、B 两点,AC、BD 分别垂直0ymx m0kykxy 轴（亦可向 x 轴作垂线图 6-2）于点 C、D,则四边形 ACBD 的面积为 . E DCOBAyx(图 4)COBAyx(图 5)D COBAyxDCOBAyx(图 6-1)(图 6-2)解析解
4、析 .224422ABCBOCAOCAOCACBDkSSSSSk四边形如图 7,函数与的图象交于 A、B 两点,AC、BD 分别垂直 x0ymx m0kykx与 y 轴于点 C、D,连结 CD,则四边形 ACBD 的面积为 . 解析解析 .33322BODCODAOCAOCACBDkkSSSSS 四边形如图 8,函数与的图象交于 A、B 两点,AC、BF 分别垂直 x0ymx m0kykx于点 C、F, AE、BD 分别垂直 y 于点 E、D, 连结 CD,则六边形 AEFBDC 的面积为 . 解析解析 .226632BODCODAOCAOCAEFBDCACBDkSSSSSSk六边形四边形如图
5、 9,已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于 A、B 两点,且点bkxy1 2yxA 的横坐标是 1,点 B 的纵坐标是1 , 求（1）一次函数的解析式；（2）AOB 的面积.解析解析 首先利用反比例函数解析式,1 2yx将点 A、B 坐标求完整.1,0.5 ,0.5, 1AB 其次利用待定系数法求出一次函数的解析式0.5yx再求出直线 AB 与 x 轴交点 C 的坐标, 0.5,0CDCOBAyxFEDCOBAyx(图 7)(图 8)DCOBA-2-121-2-121yx(图 9)1113 2228AOBAOCBOCABABSSSOCyOCyOCyy.(注明：这里出现的与指的是点 A、点
6、B 的纵坐标)AyBy如图 10-1,函数与的图象交于 A、B 两点,则的0ymxn m0kykxAOB面积为 .解析解析 第一种方法：如图 10-1,首先要根据条件将 A、B、C 三点坐标求出,再将的面积看成与的面积之差.AOBBOCAOC即.111 222AOBBOCAOCBABASSSOCyOCyOCyy第二种方法：第二种方法：如图 10-2,过点 A 作 ACx 轴于点 C,过点 B 作 BDx 轴于点 D,由前面已证的反比例函数的性质得AOCBODSS1 2 1 2AOBBODAOCABDCABDCABCDSSSSSACBDCDyyxx四边形四边形(注明：这里出现的与指的是点 C、点
7、 D 的横坐标)CxDx如图11-1,双曲线y经过矩形BDCO的边CD的中点A,交BD于点M,四边形OMDA面积为2,则xkk的值为（ ）(A)1 (B)2 (C) 4 (D) 6COBAyxDCOBAyx(图 10-1)(图 10-2)2abk 解析解析 如图 11-2,连 OD,设,则,D a b,2bA a点在反比例函数 的图象上A即点在反比例函数 的图象上M点的纵坐标为 bM点的横坐标为M即, 点为 BD 的中点M与等底同高AOCAODAOCAODSS同理可得BOMDOMSS224AODDOMBDCOOMDASSSS四边形四边形BDCOSk四边形4k 反比例函数的图象在第一、三象限内,
8、则.0k 4k 故应选（C）.kyx2a2abyx,2aM bMDCOB AyxMDCOB Ayx(图 11-1) (图 11-2)COBAyx(图 5)如图12-1,双曲线y交矩形BDCO边BD于点M,交边CD于点A,且,四xk1BDnBM n边形OMDA面积为2,则k_ _(用含n的代数式表示)解析解析 如图 12-2,连 OD,设,则,M a b,D na b点在反比例函数 的图象上Mkab即点在反比例函数 的图象上M点的横坐标为 naA点的纵坐标为A即,CDnACCDnAC与同高AOCAOD同理可得kyxb nabyx,bA nan11,1ADnAC ACADn1 1AOCAODSSn
9、1 1BOMDOMSSnMDCOBAyxMDCOBAyx(图 12-1)(图 12-2)111111 11 11 1 1 1 1 2122 11AOCAODBOMDOMBDCOAODDOMAODDOMAODDOMOMDASSSSSSSnn nnSSnn nSSn nSn nn nn 四边形四边形BDCOSk四边形反比例函数的图象在第一、三象限内,则.0k 如图 13-1,在反比例函数的图像上有点 A、B、C、D,它们的横坐标依次为20yxx1、2、3、4,分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为、,则的值是_ _1S2S3S123SSS解析解析 显然图1
10、3-1中的与图13-2中的相等,2S4S图13-1中的与图13-2中的相等,3S5S所以123SSS22 1nkn22 1nknDS3S2S1y=2xCOBA32135421yxSDS5S4S1y=2xCOBA32135421yx(图 13-1)(图 13-2)=145SSS=OEAFSS矩形2S点在反比例函数 的图象上D又点的横坐标为 4D点的纵坐标为D即11122S 所以=123SSS2S3 2反比例函数是每年中考必考的内容,特别是与反比例函数图象有关的面积问题,已成为近年考试园中一支鲜艳的奇葩这类题目主要考查学生灵活运用数学知识,分析和解决问题的能力现就 2009 年中考试题中有关反比例
11、函数题型, 举例说明例 1（2009 年钦州市）如图 14 是反比例函数 yk x在第二象限内的图象,若图中的矩形OABC 的面积为 2,则 k_ _解析解析 易得,因为反比例函数的图象在第二象限内,2OABCSk矩形所以,则.0k 2k 例 2(2009 年常德市 ) 如图 15-1,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的中心在原点,顶点A、C 在反比例函数xky 的图象上,ABy 轴,ADx 轴,若 ABCD 的面积为 8,则 k =( )（A）2 （B）2 （C）4 （D）4解析解析 显然矩形 ABCD 的面积是基本矩形（图 15-2 中阴影部分面积）的 4 倍,易得,因为反比例函数的图
12、象在48ABCDSk矩形第二象限内,所以,则.0k 2k 故应选（A）.例 3(2009 年济宁市)如图 16,和都与轴和轴相切,圆心ABxy和圆心都在反比例函数的 图象上,则图中阴影部分的面积AB等于 解析解析 设,则有,0A a aa 21,1aa 1,1A2yx1 2xyABCOyABCD Ox(图 14)(图 15-1)(图 15-2)AxyO B(图 16)1yx4242ABCDkSk矩形2242ABCBOCAOCAOCkSSSSk21 4ODEOBASOD SOB由点 A 的坐标可知,圆的半径是 1,又由反比例函数的对称性知,两个阴影的面积和为一个圆的面积,因此,图 16 中两个阴
13、影面积的和为 .例 4(2009 年河池市) 如图 17-1,A、B 是函数2yx的图象上关于原点对称的任意两点,BCx轴,ACy轴,ABC 的面积记为S,则（ ） （A）2S （B） 4S （C）24S （D）4S 解析解析 如图 17-1,连结 OC,显然ABC 的面积是基本三角形（图中阴影部分面积）的 4 倍,易得故应选（B）.例 5(2009 年青海省)如图 18,函数与的图象yx4yx交于 A、B 两点,过点 A 作 AC 垂直于轴,垂足为 C,y则的面积为 ABC解析解析 显然点 A 与点 B 关于 O 点对称, 所以点 A、点 B 横（纵）坐标绝对值相等,因此例 6(2009 年青海省)如图 19-1,已知双曲线 经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D,与直角边 AB 相交于点 C若OBC 的面积为 3,则 k_解析解析 如图 19-2,过点 D 作于 E,易证,DEOAODEOBA所以OBxyCA(图 17-1)(图 17-2)OACBxy(图 18)(0)kykx(图 19-1)ABCDyx OABCDEyx O(图 19-2)102Sk k2k1 4ODEOBAS S1 34S S1S 1 2AOCSk2 612k012kk20yxxkyx20
