《一道数列问题的解法探讨(数学论文)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一道数列问题的解法探讨(数学论文)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一道数列问题的解法探讨一道数列问题的解法探讨问题问题： 已知等差数列和等比数列. 其中， ， na nb11ba 22ba ，试判断 时，与的大小关系，并给出证明.01a2an3nanb分析一分析一：先通过特例探索结论的大致方向，即通过，比较与4 , 3nna的大小.设数列的公差为 ，数列的公比为 ，由，nb nad nbq11ba 得：，即， ， 22ba qada1111qad01a2ad0 . . 即q122122 112 133qqadaqaab2 11qa0 .即.3b3a 2132 113 144qqadaqaab04b4a可猜想当 时，.证明如下：n3nbnadnaqaabn n
2、n111 11111 1qnqan11132 1nqqqqann 111132 1qqqqann .2321432 1nqnqqqann0即.nbna说明：在这里，特例不仅为我们探明了结论，更为我们 探出了解决问题的思路.分析二分析二：利用分析法证明.要证当时，成立，只需证明3nnbna成立.而，故只需证明1 1nqadna1111qad成立.由于 ，11 1nqa111qna1a0即证.11nq11qn即证.1132qqqqnn11qn而 ，故只需证明1q0+ 32nnqq1q. 1n由于 ，故当 时， ， ， ，.q1n32nq13nq1q111左右分别相加，即得式.所以，当 时，有.n3
3、nbna分析三分析三：利用数学归纳法.当时，易证13n3b3a假设当时，即. 2kn kbka1 1kqbdka11那么，当时，1 kn1 111 kk kqbqqbbdkaq11dkqqa11dkqda11dkda11（因为， ）. 1111nadkadaqa11q1所以，当时，.1 kn1kb1ka根据，对任意正整数 ，都有. 21n3nbna分析四分析四：由数形结合探明结论.在同一坐标系中，作出过，11, 1 aP两点的直线和指数曲线，借助该图，容易看出，当 22, 2 aPn时，.并且在区间（ ）上，两点，3nbnann, 1n311, 1nnbnP连线的斜率恒大于两点，连线的斜率.n
4、nbnP,11, 1nnanPnnanP,故得下面的解法：当 时， .n31nnaa11qad0 .1nnbb1 1nqa2 1nqa12 1qqan0故 .可得： 212 111 11nnnnnnqqaqqa aabb1.（ ）1nnbb1nnaan3对 赋值，可得： ，n23bb 23aa ，34bb 34aa ，45bb 45aa .1nnbb1nnaa左右分别相加，得：.2bbn2aan又，.22ba nbna分析五分析五：借助二项式定理进行放缩.由，得.所以，当时，qada1111adq3nnb1 1nqa 1111nada 111 11adCan 111 11adCan.11nad
5、na说明：若写成也可用二项式定理证明.,111 1n nqab分析六分析六：考虑反证法. 先猜想结论：当 时，.n3nbna下用反证法证明：若不然，则存在，使得.30n 00nnab易验证，不妨设是使 成立的最小3b3a4b4a0nnnab 3n正整数.由于，故有：11ba 22ba 0011nnaabb 0022nnaabb若为奇数，则为偶数.设显然.0n10n10n.2mm0n由于均为正数，故，由式， 0,1nbb 01nbb 012nbbmb2mnaaa2 01可得：，即.由于，这与是使 的最小正整mmab22mmabm0n0nnnab 3n数矛盾.若为偶数，由式，同理可推得矛盾.0n这说明假设不成立，故当 时，.n3nbna数列是高中代数的重要内容，是学习高等数学的基础，在高考中占有重要地位.对上述题目的解答，突出反映了数列与函数、不等式、数学归纳法等知识的紧密联系，蕴含着丰富的数学思想和方法.
