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1、第2章 薛定谔方程作业题：p71 2.1，2.2一、薛定谔方程（Schrdingers equation） 1926年薛定谔提出一个质量为m的微观粒子在外场中沿x轴方向运动时，其势能U=U(x,t),这时波动方程为：“波动力学”理论 其核心内容:物质波的波动方程（适用于低速运动粒子的情况）称为薛定谔方程Erwin Schrdinger一般形式的薛定谔方程 2.1 薛定谔得出的波动方程用“算符”代表物理量、 用求“特征值”的办法求 物理量的具体取值。 这是量子力学中处 理问题的基本数学手段 。称为能量算符_动量算符量子力学用“算符”代表物理量_坐标算符_角动量算符拉普拉斯算符一般的薛定谔方程上述
2、方程简写哈密顿算符p说明 1）薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，其地位类 似于经典力学中的牛顿定律； 薛定谔方程是作为假设提出来的，它的正确性被无数事实所证实2)由于方程是线性的，满足薛定谔方程的波函数服从叠加原理 （量子力学第一原理）设：下列波函数均满足薛定谔方程：都是可能存在的状态则：也是可能存在的状态3)一维情况：一般形式的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为： 定态薛定谔方程 在稳定的外力场中，微观粒子的势能U与时间t无关，即： U= U(x)哈密顿算符本征方程（能量本征方程）其一维的势能图如下图所示，其形状与陷阱相似，故称
3、为势阱。质子在原子核中的势能曲线也是势阱.为了计算简化，提出了一个理想的势阱模型 无限深势阱2.2 一维无限深方势阱中的粒子势函数（0x a)由于势能与时间无关，所以只需解一维定态薛定谔方程0xU(x)=0a（ x 0 或x a)按照经典理论，处于无限深势阱中的粒子，其能量可取任意 的有限值，粒子在宽度为 a 的势阱内各处的概率是相等的。但从量子力学来看，这些问题又是什么样的情况呢？p势阱外：对于E为有限值的粒子，要使上述方程成立，唯有（x 0 或x a）p 势阱内：（0x a)0xU(x)=0a其解为： 由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：得：p势阱外（x 0 或x a）：p势阱内（0x
4、a) ：称为量子数（quantum number）0xU(x)=0a称为量子数（quantum number）综上：（0x a)（ x 0 或x a) 将波函数归一化：即：u此结果的物理意义：在0xa的区域：1) 势阱中的粒子在各处的概率密度（0x a) （ x 0 或x a)其中：an=1n=2n=3a 各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波当 时，在 处粒子出现的概率最大当 时，在 处粒子出现 的概率最大n 时，粒子在势阱内的概率趋于均匀与经典结论一致2) 势阱中粒子的能量（能量本征值）：由：说明势阱中粒子的能量是量子化的，整数 n 称为能量量子数。能级图为u 粒子的能量不能连续取值，只能取
5、分立值讨论：u 粒子的最小能量不能等于零因为所以 n 最小取1，粒子的最小能量为 说明不存在这种状态粒子的最小能量状态称为基态最小能量零点能完全静止的粒子是不存在的！u 粒子的能量不能连续取值，只能取分立值讨论：由3) 在一定条件下，量子力学解可趋近于经典力学的情况： a. 当量子数n足够大时：b. 当m或a足够大时，同样得到上述结论粒子能量趋于连续分布当 能量的量子 化效应就不显著，可认为能 量是连续，所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数时的极限情况当 时，均匀分布，量子经典n=1n=2n=3aa 各处的概率密度的分布类似于弦上的驻波无限深势阱中粒子的每一个能量本征值对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。波长量子化 2.3 势垒穿透方势垒经典理论或量子力学，粒子都 可以穿过区域进入区域。从经典理论看，由于粒子动能必须为正值， 所以不可能进入区域和区域。但从量子力学分析，粒子仍可以穿过区域进入 区域。在区域 :设波函数为 薛定谔方程在区域 :设在区域:设根据波函数要求是单值、有限、连续条件解得粒子有一定的概率穿透势垒。粒子能穿透比其动能 更高的势垒的现象，称为隧道效应在粒子总能量低于势垒壁高 的情况下“隧道效应” 2.4 谐振子势函数薛定谔方程：“零点能量 ”例2.4完全静止的粒子是不存在的！
