数字信号处理滤波器设计

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1、无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计,许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。 实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。,数字滤波器是具有频率选择性的离散线性系统，数字滤波器的设计步骤大体可分为以下三步：1.根据使用要求确定系统需要的各种性能指标（指容限、容差） 通常在频域给出滤波器的容限、容差，如图所示。 容限-指滤波器通带、阻带的最大衰耗和波动范围。 容差-指通带、阻带容许的最大误差范围。

2、,IIR滤波器的设计方法,在通带内，幅度响应以误差 逼近于1， 即,在阻带中，幅度响应以误差 而逼近于零， 即,其中， 、 分别为通带和阻带截止频率 。,2. 用稳定的因果系统去逼近设计的系统函数 系统函数包括：无限长单位脉冲响应的系统函数和有限长单位脉 冲响应的系统函数，可根据容限选择IIR或FIR滤波器。,逼近在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近就是给定所要求的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后得到一个因果、稳定并且可实现的传递函数 ，滤波器的设计实际上就是一个数学逼近的问题。,3.决定 的实现方法

3、（包括选择运算结构、运算制式及字长） 因为数字滤波器是一种物理可实现的线性时不变系统，所以它是用 一个有限精度的运算去实现系统函数 。选择的结构形式有：级联、 并联、直接、横截、频率采样型等结构。 本章和第五章主要解决第二个步骤的内容，也就是寻求滤波器传递 函数设计的问题。,说明一下符号表示的含义： DF - 数字滤波器 AF - 模拟滤波器,单位脉冲响应 单位冲激响应 采样序列 DF的传递函数 AF的传递函数 DF的频率响应 AF的频率响应,数字滤波器四种类型的理想频率特性：,数字滤波器的数学描述：1)差分方程,2)系统函数,简单的数字滤波器,1)一阶FIR低通滤波器,2)一阶FIR高通滤波

4、器,3)一阶IIR低通滤波器,4)一阶IIR高通滤波器,5) 二阶IIR带通滤波器,6) 二阶IIR带阻滤波器,4.1 IIR滤波器设计的特点,IIR滤波器的传递函数可以写成N阶的有理函数：,滤波器设计的核心是求传递函数 ，而 的设计就是确定系数 、 ，或者确定零点 、极点 ，使得滤波器的 满足给定的性能要求。,IIR 指单位脉冲响应 为无限长的滤波器，滤波器的 有无限个离散值。,一. IIR滤波器的一般设计方法：,如果在单位圆内设置一对共轭极点 ，频响在 将有一峰值。,极点 离单位圆愈远，频响在 处的峰值比较平缓。 极点 越接近单位圆，频响在 处的峰值就越尖锐。 如果通带太窄，可以把极点向原

5、点平移，如果通带太宽，可以将极点向单位圆移动。我们可以通过几次调整单位圆内极点的位置，去逼近符合设计要求的频响。,同样，如果在单位圆上 处设置一个零点，那么频响在 处会出现传输零点，传输零点可以实现陷波作用。,1.累试法 滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。,零、极点累试法是在频域直接设计，可以完成一些简单的、阶数不高的滤波器的设计。,就是计算机优化设计，计算机优化设计的思想是借助计算机，使得所设计的滤波器的频响尽可能逼近理想的频响，即,2. 最优化设计法,最优化设计一般分为两步进行：第一步：选择最优化标准或准则,例如，实际中常常要求滤除叠加在信号上的50HZ工频干扰，我们

6、 可以在 处安排一个零点， 就可以,滤除掉 50HZ的工频干扰。,DF的传递函数,通过改变 的系数 、 ，分别计算均方误差 ，经过多次迭代运算，寻找一组系数 、 ，使得均方误差 为最小的这组系数为最优系数，从而完成最优化设计。,第二步：进行迭代运算，确定最优系数,最小,选择一种最佳准则，使得 与 的均方误差最小或者最大误差最小。根据最小二乘法准则，要求,3.模仿模拟滤波器的设计,因为模拟滤波器的设计目前已经很完善，AF不仅有简单和严格的设计公式，而且它的设计参数也已经表格化，因此，我们可以借助于模拟滤波器设计的成果来设计数字滤波器。 在模拟系统中，利用工作参数综合法设计滤波器时，无论低通、高通

7、、带通和带阻滤波器，均是先设计一个低通原型，然后经过某种频率变换完成所要求设计的滤波器。 即:,利用模拟滤波器设计数字滤波器，首先利用模拟滤波器的现成结果，在S平面设计出符合要求的模拟滤波器的传递函数 ，再通过一定的映射关系，得到数字滤波器的传递函数 。,在进行IIR 数字滤波器的设计时， 要逼近模拟原型低通滤波器，模拟低通滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上以幅度平方函数来表示模特性。,二. 最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法,1巴特沃思滤波器（butterworth） 最平响应滤波器 巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数定义为：,N 为整数，表示滤波器的阶次； 为截止频率。,当=0 时，当时

8、，有 又称为滤波器的3bB带宽（或半功率点）。,当 时，当 时， 又称为滤波器的3bB带宽,巴特沃思低通滤波器的特点： 在 处，即靠近零频处，衰减为0 ，所以巴特沃思滤波器通带内具 有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。 巴特沃思低通滤波器没有有限零点,零点出现在 处，它属于“全极 点型滤波器”。,2切比雪夫滤波器 (chebychev) 切比雪夫滤波器也是一种全极点型滤波器，它的幅度平方函数,其中： 表示通带波纹大小，是小于 1的正数， 越大，波纹越大。,为滤波器的截止频率，但 并不是3db带宽）。,为N阶切比雪夫多项式，定义为：,切比雪夫低通滤波器的特点：通带内等起伏，通带外衰减

9、快；由于过渡带较窄，因此相位特性较差。,3考尔滤波器(cauer),考尔滤波器的特点： 通带内、外都是等起伏。 由于过渡带较窄，因此相位特性较差。,三S平面到Z平面的映射变换,利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器的传递函数 去设计数字滤波器的传递函数 ，即,这种变换归根结底是一个由S平面到Z平面的变换，并且通常是复变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求：,的频响应该模仿 的频响 即要求, 是因果稳定的映射 指 的因果稳定性通过映射后， 仍应保持因果 稳定。,4.2 脉冲响应不变法,根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。数字滤波器从什么角度去模

10、仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应不变法。,1. 脉冲响应不变法,模拟 系统,LTI系统特性可以完全由它的冲激响应决定,数字系统,脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器的脉冲响应在采样点上完全一样。即：,单位脉冲响应不变法的设计思想：使数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。,2脉冲响应不变法设计的系统的频率响应,模拟系统频响数字系统频响,对模拟信号,拉氏变换,如果,当 时，,是采样信号的拉氏变换与采样序列Z变换之间的映射关系,理想采样的频谱,采样信号的频谱是采样信号在虚轴上的拉氏变换,是模拟信号频谱 以采 样频率 为周期的周期延拓,或,理想采样信号的频谱是单位圆上的Z变换，它也等于数字

11、信号的频谱。,因此，我们可以得到采样序列 的频谱 与原信号 的频 谱 之间的映射关系为：,上式表明：当采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它实际上是完成了由S平面到Z平面的映射，我们利用以上关系同样可以得到数字滤波器的频响 与模拟滤波器的频响 之间的关系：,表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响， 为模拟滤波器频响 的周期重复,是以 为周期的周期延拓。,需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：,首先分析一下 和 以及 的关系：,注意：我们原本是让 来模拟 ，但实际中由于 ， 所以 模拟的是采样信号的频谱 ， 的映射关系反映 的是 和 周期

12、延拓后与 之间的对应关系，而并不是 和 之间的关系。,如果模拟信号不充分带限，这种周期重复就不可避免的存在着频率混叠问题，如下图所示。,只有当信号是带限信号，并且满足 、 或时，这时数字滤波器的频响 在折叠频率以内才能不失真的重现模拟滤波器的频响 。即,但是任何一个实际的模拟滤波器都不可能完全是带限的，所以不可避免的要出现混叠现象。 如果模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减的愈快，则混叠失真就愈小。因此，脉冲响应不变法只适用于带限模拟滤波器。对于带阻和高通滤波器，由于它们高端频率不衰减，因此高频分量将完全混叠在低频响应中，从而使整个频响产生失真。如果设计的高通和带阻滤波器要采用脉冲响应不变法，就必

13、须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，先滤除掉高于折叠频率以上的频带，然后再使用脉冲响应不变法将其转换为数字滤波器。,3模拟滤波器的数字化方法,脉冲响应不变法要经历以下四个过程：,对 进行采样，使得数字滤波器的单位脉冲响应序列,（1）,（2）,（3）,4对脉冲响应不变法的修正,数字域频响与模拟信号采样后的频谱关系是：,上式中频响 与T成反比，通常为了减小脉冲响应不变法的混叠失真，一般选择较高的采样频率，于是采样周期T就会比较小，如果T很小，数字滤波器的增益就会很高，而我们一般希望 的增益能与采样频率无关（与T无关）。因此，在实际应用中，脉冲响应不变法要稍做一下修改。,令 ，则,这样，数字滤波器的增益就不会随采样频率的变化而变化。,比较第（1）步和第（4）步,S平面的每一个极点 Z平面是极点 ； 与的系数是相同的。因此，只要知道极点 就可以直接得到 ，而不必求解第(2)、(3)步。也就是说我们可以：,（4）,从模拟域 直接映射到数字域,下面我们举例说明脉冲响应不变法的应用：,例：已知AF的系数函数 用脉冲响应不变法求出相应的数字滤波器的系数函数,解：,模拟滤波器在 处有一个零点；在 处有一对共轭极点。,数字域中 有两个零点 和 ，有一对共轭极点 。可见，脉冲响应不变法对零点没有一一对应的关系。,