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1、 定义 向量内积的定义及运算规律定义向量的长度具有下列性质： 向量的长度定义 向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基定理定义 正交向量组的性质施密特正交化方法第一步 正交化第二步 单位化定义 正交矩阵与正交变换方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为 正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变定义 方阵的特征值和特征向量 有关特征值的一些结论定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量 有关特征向量的一些结论定义矩阵之间的相似具
2、有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性 相似矩阵 有关相似矩阵的性质若 与 相似，则 与 的特征多项式 相同，从而 与 的特征值亦相同(4) 能对角化的充分必要条件是 有 个线 性无关的特征向量(5) 有 个互异的特征值，则 与对角阵相似 实对称矩阵的相似矩阵定义 二次型二次型与它的矩阵是一一对应的定义 二次型的标准形 化二次型为标准形定义 正定二次型 惯性定理注意 正定二次型的判定一、证明所给矩阵为正交矩阵典 型 例 题二、将线性无关向量组化为正交单位向量组三、特征值与特征向量的求法四、已知 的特征值，求与 相关矩阵的特征值五、求方阵 的特征多项式六、关于特征值的其它问题七、判断方阵
3、可否对角化八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形一、证明所给矩阵为正交矩阵证明将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化二、将线性无关向量组化为正交 单位向量组解一 先正交化，再单位化解二 同时进行正交化与单位化第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量三、特征值与特征向量的求法第一步 计算 的特征多项式；第二步 求出特征多项式的全部根，即得 的全部 特征值；解 第一步 计算 的特征多项式第三步 求出 的全部特征向量解四、已知 的特征值，求与 相 关 矩阵的特征值解五、求方阵 的特征多项式解六、关于特征值的其它问题方法一方法二方法三解七、判断方阵 可否对角化解 (1) 可对角化的充分条件是 有 个互异的 特征值下面求出 的所有特征值解 第一步 求A的特征值由八、利用正交变换将实对称矩阵 化为对角阵九、化二次型为标准形解 第一步 将 表成矩阵形式解第五章 测试题一、填空题(每小题4分，共32分)二、计算题（共40分）三、证明题（共20分）四、（8分）设二次型经正交变换 化成测试题答案
