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1、函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性 一、函数的单调性一、函数的单调性 初中时我们学过，对于一次函数 yx+1，y 随着 x 的增大而增大，我们称之为增函数；y-x+l，y 随着 x 的增大而减小，我们称之为减函数。 那么如何定义呢?用数学符号语言如何叙述呢? 1定义：一般地，设函数定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为的定义域为 D： 在定义域内的某个区间上任取 x1，x2，且 x1x2，若都有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)是单调增函数； 在定义域内的某个区间上任取 x1，x2，且 x1x2，若都有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)是单调减函数； 若函数 yf(x)在某个区
2、间上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做 yf(x)的单调区间。 理解：初中的说法是描述性的语言，通俗易懂；而高中的定义体现了自变量的变化关系决定因变量的变化关系。分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。今后学习奇偶性，周期性都是这样定义的。 注：(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个局部概念，是针对定义域内某个区间而言的，通常谈到单调性都会注明单调区间。 (2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，若在区间的端点处没有定义，则写成开区间。 比如，反比例函数不是单调函数，但是它在(-,0)上是减函数，在(0，+)上也是减函数。
3、我们把(-，0)和(0，+)叫的单调减区间。若表示为(-,0)(0,+)是不对的。 如右图所示的函数，单调区间是 R，它是单调函数。 若去掉点(0，1)，则单调区间是(-，0)(0，+)。 例例 1证明函数在0，+）上是增函数。 分析：分析：判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手。 证明：证明：设 x10，x20，且 x1x2， 则 ， 0x10 时，-x0，f(x)-f(-x)-(-x)2+4(-x)-1-x2+4x+1 所以 注：注：若奇函数在 x0 处有定义，则 f(0)0。 例例 7已知 f(x)x5+ax3-bx-8
4、，f(-2)10，求 f(2)。 分析：分析：问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解 解：解：令 g(x)=x5+ax3-bx，则 g(x)是奇函数，所以 g(-2)g(2)， 于是 f(-2)g(-2)-8, g(-2)=18. 所以 f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26. 例例 8奇函数 f(x)在定义域(-1,1)上为增函数，且 f(1-a)+f(1-a2)0，求实数 a 的取值范围。 分析：分析：若能把 f(1-a)+f(1-a2)0 改造成两个函数值的大小关系就可以得到自变量的不等式。 解：解：由 f(1-a)+f(1-a2)0 知 f(1-a2)-f(1-a) 因 f(x)是奇函数，所以-f(1-a)=f(a-1)，代入上式得 f(1-a2)f(a-1)，又因 f(x)在定义域(-1,1)上为增函数知 ， 。
