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1、第六章 离散系统的Z域分析Z变换主要内容Z变换的性质逆Z变换Z域分析长春理工大学6.1 Z 变换一、从拉氏变换到Z变换抽样信号令：令：双边变换双边变换单边变换单边变换拉氏变换与变换：拉氏变换与变换：长春理工大学6.1 Z 变换 二、Z变换与与 之间关系简记为：之间关系简记为： 如果有离散序列 ， 为复变量，则函数 称为序列 的双边 变换。 称为序列 的单边 变换。 函数 长春理工大学能使上两式幂级数收敛的复变量 z 在 z 平面上的取 值区域，称为 z 变换的收敛域。长春理工大学三、收敛域双边z变换单边z变换当满足 时，上两式一定收敛。6.1 Z 变换例例6.1-16.1-1求以下有限长序列的
2、求以下有限长序列的Z Z变换变换 。 解：（1）（2） 双边z变换：单边z变换：6.1 Z 变换长春理工大学例例6.1-2 6.1-2 求序列求序列f f ( (k k)= )= a ak k ( (k k) )的的Z Z变换变换。 解：为保证收敛，则为保证收敛，则收敛域收敛域Z Z平面平面若若 a a = 1, = 1, 则则6.1 Z 变换长春理工大学例例6.1-3 6.1-3 求序列求序列f f ( (k k)= -)= -a ak k (- (-k k-1)-1)的的Z Z变换。变换。 解：为保证收敛，则为保证收敛，则 收敛域收敛域Z Z平面平面6.1 Z 变换长春理工大学例例 6.1
3、-4 6.1-4 求序列求序列 f f ( (k k)= (1/3)= (1/3)| |k| k| 的的Z Z变换。变换。 解：收敛域收敛域Z Z平面平面| |z|1/3z|1/3时，时，第二项收敛于第二项收敛于 ，对应于右边序列，对应于右边序列。| |z|0反因果有限长序列： F(z)=f (-1)z 1+ f (-2)z2+ |z|0圆的外部。 如果是左边序列，收敛域为|z|0z|06.2 Z变换的性质长春理工大学求下列序列的求下列序列的Z Z变换变换。(1)(2)(3)(4)6.2 Z变换的性质长春理工大学6.3 逆 Z 变换一、幂级数展开法若把若把F F(z(z) )展开成展开成z z
4、-1-1的幂级数之和，则该级数的各系数就的幂级数之和，则该级数的各系数就 是序列是序列f f（k k）的值。）的值。 例 1：已知 ，求f（k）。 根据泰勒公式：根据泰勒公式：或：或：长春理工大学例2. 已知 ，求 f (k)。用长除法可得用长除法可得z z-1-1的幂级数。的幂级数。但得不到解析式但得不到解析式6.3 逆 Z 变换长春理工大学例3（6.3-1）. 已知象函数 其收敛域如下，分别求其相对应的原函数 f (k)。例4（6.3-2）. 已知某因果序列的象函数为 求其原序列 f (k)。6.3 逆 Z 变换长春理工大学二、部分分式展开法用部分分式展开法求反Z变换， 一般为有理函数。1
5、.有单极点：为为 n n个不相等的单根个不相等的单根。按按 可展开成可展开成 6.3 逆 Z 变换长春理工大学例5（6.3-3）已知象函数 其收敛域如下，分别求其相对应的原函数 f (k)。例6（6.3-4）求象函数 的逆z变换。6.3 逆 Z 变换长春理工大学2.有共轭单极点：其根为 z1,2= c jd = a ej 由于F(z)是Z的实系数有理函数，应有w w 原函数的形式之一：原函数的形式之一：w w 原函数的形式之二：原函数的形式之二：6.3 逆 Z 变换长春理工大学例7（6.3-5）求象函数 的逆z变换。解：解： 极点：极点：6.3 逆 Z 变换长春理工大学3.多重极点：6.3 逆
6、 Z 变换长春理工大学例8（6.3-6）求象函数 的逆z变换。例9（6.3-7）求象函数 的逆z变换。6.3 逆 Z 变换长春理工大学三、留数法若若z zi i为单极点，则留数为：为单极点，则留数为：若若z zi i为为r r重极点，则留数为：重极点，则留数为：反变换定义：反变换定义：可以把该围线积分表示为围线可以把该围线积分表示为围线C C内所包含的各极点的留数之和，即内所包含的各极点的留数之和，即6.3 逆 Z 变换长春理工大学1、求 F(z) 的反变换 f (k)。若 F(z)= z-1-a, 则 f (k) = _。(k-1) - a(k)2、求 F(z) 的反变换 f (k)。若 ,
7、 则 f (k) = _。练习题6.3 逆 Z 变换长春理工大学3、求 F(z) 的反变换 f (k)。若 , 则 f (k) =_。6.3 逆 Z 变换长春理工大学4、求 F(z) 的反变换 f (k)。若 , 则 f (k) = _ 。6.3 逆 Z 变换长春理工大学5、求下列象函数的反Z变换。(1)(2)(3)(4)6.3 逆 Z 变换长春理工大学6、分别求出象函数 在不同收敛域下所对应的序列。(1)(2)6.3 逆 Z 变换长春理工大学6.4 z域分析 移位特性m=3时， Z f (k-3)(k)= z -3F(z)+ f (-1) z -2 + f (-2) z -1+ f (-3)
8、m=2时，Z f (k-2)(k)= z -2F(z)+ f (-1) z -1 + f (-2)m=3时，Z f (k+3)(k)= z3F(z)- f (0) z 3 - f (1) z 2- f (2)zm=2时，Z f (k+2)(k)= z 2F(z)- f (0) z 2 - f (1)z长春理工大学一、差分方程的z 域解 以二阶离散系统为例，设二阶离散系统的差分方程为 设y(k)的单边Z变换为Y(z)，根据单边Z变换的位移性质，对上式两端取单边Z变换，得 6.4 z域分析长春理工大学分别令： 则：长春理工大学6.4 z域分析例 6.4-1 若描述LTI系统的差分方程为 求系统的零
9、输入响应、零状态响应、全响应 。长春理工大学已知 。例 6.4-2 若描述LTI系统的差分方程为 已知 激励 。 求 和 。例 6.4-3 若描述LTI系统的差分方程为 已知 。 求系统的零输入响应、零状态响应、全响应 。6.4 z域分析例 6.4-4 若描述LTI系统的差分方程为 求其全响应 。长春理工大学已知 。解：6.4 z域分析二、系统函数 设n阶LTI离散系统的差分方程为 式中，mn，ai(i=0, 1, , n)、bj(j=0, 1, , m)为实常数。则系统函数为 ：长春理工大学系统函数与单位序列响应的关系：6.4 z域分析例 6.4-5 若描述LTI系统的差分方程为 求系统的单位序列响应
