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1、第十节 导数及其运算内 容要 求ABC导导数的概念导导数的几何意义义导导数的运算三年2考 高考指数:1.导数的定义及其几何意义(1)定义：设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b)，当x无限趋近于0时，比值 =_无限趋近于一个常数A，则称常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0).(2)导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点_处的切线的斜率.(x0,f(x0)【即时应用】(1)思考：f(x)与f(x0)有何区别？提示：f(x)是x的函数，f(x0)只是f(x)的一个函数值.(2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是_.
2、【解析】y=2x，曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2.答案：2(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e)处的切线方程是_.【解析】f(e)= ，所求的切线方程为y-f(e)=f(e)(x-e)，即y-lne= (x-e)，化简为x-ey=0.答案：x-ey=02.基本初等函数的求导公式基本初等函数求导导公式(C)=_ (x)= _(为为常数)(sinx)=_ (cosx)=_(ex)=_ (ax)= _(a0,且a1) (lnx)=_(logax)=_ (a0,且a1,x0)0x-1cosx-sinxexaxlna【即时应用】(1)y=x-5，则y=_.(2)y=4x，则y=_
3、.(3)y=log3x，则y=_.(4)y=sin ，则y=_.【解析】(1)y=x-5，y=-5x-6.(2)y=4x,y=4xln4.(3)y=log3x,y= .(4)y=sin ,y=0.答案：(1)-5x-6 (2)4xln4 (3) (4)03.导数的运算法则若y=f(x)，y=g(x)的导数存在，则(1)Cf(x)=Cf(x)(C为常数)；(2)f(x)g(x)=_；(3)f(x)g(x)=_；(4) = _(g(x)0).f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)【即时应用】(1)y=x3+sinx，则y=_.(2)y=x4-x2-x+3，则y=_.(3)y=(2x2+
4、3)(3x-2)，则y=_.【解析】(1)y=(x3)+(sinx)=3x2+cosx.(2)y=4x3-2x-1.(3)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.或：y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.答案：(1)3x2+cosx (2)4x3-2x-1 (3)18x2-8x+9 导数的运算【方法点睛】求函数导数的方法遵循先化简后求导的原则.乘积的形式化为和、差形式；根式化为分数指数幂的形式；较为复杂的公式化为简单的和或差；熟记导数公式和求导法则是关键. 【例1】(1)(2012无锡模拟)函数f(x)
5、= 的导函数是_.(2) 求下列函数的导数.y=x2sinx；y=【解题指南】(1)利用导数公式计算.(2)利用积的导数法则；利用商的导数法则或先化简分式再求导.【规范解答】(1)f(x)= .答案: (2)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.方法一：y= .方法二：y= ,y=1+( ),即y=【互动探究】把本例(2)中的函数改为y= ，如何求导？【解析】y= = .【反思感悟】准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则，根据所给函数解析式的特点，灵活选择解题方法决定了解题是否正确、顺利.【变式备选】求下列函数的导数：(1)y=(1+ )(1+ )；(2
6、)y=3xex-lnx+e.【解析】(1)y= , (2)y=3xexln(3e)- .导数的几何意义【方法点睛】1.导数的几何意义函数在切点处的导数是该点处切线的斜率.2.导数几何意义的应用已知切点坐标可以求斜率，已知斜率也可以求切点坐标.当所给的点A(x0,y0)是切点时，切线斜率k=f(x0).当所给的点M(a,b)不是切点时，可以设出切点P(x0,y0)，则f(x0)= .【提醒】审题时注意所给点是否是切点. 【例2】(1)(2011湖南高考改编)曲线y= 在点M( ,0)处的切线的斜率为_.(2)(2011山东高考改编)曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
7、_.【解题指南】利用导数的几何意义，(1)可以求出切线斜率；(2)先求出切线方程，再得到与y轴交点的纵坐标.【规范解答】(1)y=所以答案： (2)y=3x2，切线斜率为3,切线方程为y=3x+9，与y轴交点的纵坐标是9.答案：9【互动探究】若将本例(2)“在点P(1，12)处”改为“过点P(1，12)”，将如何求解？【解析】当P为切点时，由本例(2)知，切线与y轴交点的纵坐标为9.当P不是切点时，设切点坐标为(x0,y0)，则 ，即 ，解得x0=-切点为(- , )，切线方程为 与y轴交点的纵坐标为【反思感悟】(1)要体会切线定义中的运动变化思想，由割线切线，由两个不同的公共点无限接近重合(
8、切点).(2)利用导数的几何意义求曲线的有关切线的问题时，一定要抓住切点的三个主要特征：在曲线上，在切线上，该点处的导数是切线斜率.【变式备选】函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN*，若a1=16，则a1+a3+a5的值是_.【解析】由y=x2(x0)，得y=2x，所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：y-ak2=2ak(x-ak),当y=0时，解得x= ,所以ak+1= ,a1+a3+a5=16+4+1=21.答案：21 【易错误区】导数几何意义应用的易错点【典例】(2012杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与
9、曲线y=x3和y=ax2+ x-9都相切，则a=_.【解题指南】因为点(1,0)不在曲线y=x3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y=ax2+ x-9相切求a的值.【规范解答】设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0, )，所以切线方程为y- = (x-x0),即 ，又(1,0)在切线上，则x0=0或x0=当x0=0时，由y=0与y=ax2+ x-9相切可得a=-当x0= 时，由y= x- 与y=ax2+ x-9相切可得a=-1.答案：-1或-【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示 在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未
10、对点(1，0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系.备考建议 解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握；(3)对于直线的方程与斜率公式的求解要熟练.1.(2011重庆高考改编)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为_.【解析】由y=-3x2+6x知,切线斜率为k=-3+6=3.所以切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1，即3x-y-1=0.答案：3x-y-1=02.(2012无锡模拟)曲线y=x- 上任一点处的切线与直线x=0，y=x分别相交于A，B两点，O是坐标原点，则OAB的面积是_.【解析】设曲线y=x- 上任一点为(x0,y0)，y=1+ ,故过任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+ )(x-x0)，令x=0得：y= ,令x=y，解得x=y=2x0答案：23.(2012南京模拟)曲线C：f(x)=ex+sinx+1在x=0处的切线方程为_.【解析】f(x)=ex+cosx.f(0)=e0+cos0=2.f(0)=e0+sin0+1=2.故切线方程为y-2=2(x-0).即2x-y+2=0.答案：2x-y+2=0
