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1、专题十一 应用题的解法第二部分应试策略 考题剖析 试题特点 030615应用题的解法应用题能考查学生对数学知识的灵活转化和实际应用的能力，能全面体现学生的数学综合素质，所以很受试卷命题人的青睐，并成为每年高考题的必备题型.高考应用题是高考成绩的分水岭，许多中等成绩的同学在处理此类题目时，往往难以下手，不知如何处理繁杂的条件，如何建立数学模型；在运算时，由于生活经验的缺失，不知如何处理数据.这些都是常见的错误.试题特点应用题的解法近三年高考应用题出现如下特点：1.命题点集中：2005年应用题，除了上海、湖南、天津；2006年应用题除上海(三角)、湖北(抽样)、江苏(立几)以外所有省市命题均集中在
2、概率与统计这一知识点，等可能事件、互斥事件、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列及数学期望结合出题成为热点.但对于2007年各地试卷而言,虽说概率统计还是出应用题的热门素材(有11道)外,另传统内容也出现了回热现象,涉及函数4道,三角2道,数列1道,立几1道,更有宁夏/海南卷出现了三角与概率各一道共两道应用大题. 试题特点应用题的解法2.背景丰富公平：应用题命题背景出现了种子发芽、五局三胜的比赛、射击、取球、中奖等等学生耳熟能详，审题时认同感强，理解准确.3.运算设计合理，应用题主要出现在18题20题，题目难度不是很大，但题目设计的运算有数字运算也有字母运算，对运算的稳定度、运算的准确度要求
3、较高.试题特点应用题的解法应 试 策 略1. 应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却是一个程序化的过程： （1）审题：解题的前提；应用题往往题干较长，文字表述较多.在审题时，要注意抓住题目中的关键词、关键句，如：至多、至少、直到两人中有一人取到白球，尤其是题目中出现的新词，往往这些新词是平常生活中不太熟悉的，要求把这些新词单独提取出来，如：2005年湖南卷中出现的新词汇有：鱼群的总量、鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡量；当这些词汇被提取出来后，要理顺各种数量之间的关系，解题就可以进入第二步.应试策略应用题的解法（2）建模：即用数学语言翻译文字描述，并建立数学模型，这是解题的关键；数学模型
4、的建立主要有两种途径，一利用所学的数学知识如函数、数列、不等式、圆锥曲线、概率等，与题目所给信息相结合，建立数学模型；二是利用题目所给的已知量、未知量、常量、变量等建立数学关系，题目中所给的条件就是题目中所出现的新词汇，如湖南卷中出现的新词汇就可以组成等量关系：鱼群第n+1年的总量=鱼群第n年的总量+鱼群的繁殖量被捕捞量死亡量.应试策略应用题的解法（3）运算：基本等同于常规理论题的解答，这是正确解答必不可少的环节，应用题的运算包括字母运算和数字运算，无论哪种运算，都要求考虑实际的意义、题目的要求精度（如保留几位小数等）、运算方法的优化问题等.综上分析，应用题是用文字表述，具有一定的事理，它和一
5、般解答题有明显的不同.一般解答题有现成的式子，计算方法和次序都是明确的，逻辑推理能力要求高，而应用题同时还考查了学生的“用所学基础知识分析和解决问题的能力”.应试策略应用题的解法2.应用题在考查知识上主要有：（1）函数、不等式的应用题，大多是以函数知识为背景设计，所涉及的函数主要是一次函数，反比例函数，二次函数、分段函数，以及形如y=ax+ 的函数等.解答此类应用题一般都是从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，即将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建函数、不等式的数学模型，在题目给出的实际定义域内求解.此类题目在求解时，要注意仔细分析，捕捉题目中的新词汇及数量关系，对于较复杂的数
6、量关系可以根据事物的类别、时间的先后、问题的项目对题目中给出的已知量、未知量、常量的归类，或画出图表，建立等式、不等式，将复杂的数量关系清晰化，从而建立数学模型，进行求解，最后还要注意检验所求是否符合实际意义.应试策略应用题的解法（2）数列、不等式应用题，大多以数列知识知识为背景，所涉及的知识有数列的首项、通项公式、项数、递推公式、前n项和公式及an与Sn的关系等等；常见的命题点有：平均增长率、利率（复利）、分期付款、等值增减或等量增减的问题.常用的数学模型有：构造等差、等比数列的模型，然后应用数列求和或特殊数列求和求解；利用无穷等比数列的求和公式求解，往往与极限结合出题；构造数列通项的递推公
7、式或Sn的递推公式，利用待定系数法或an与Sn的关系求解，注意n的范围问题；通过类比归纳得出结论，用数学归纳法或数列的知识求解.应试策略应用题的解法(3)三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的最值、反三角函数、向量、不等式、图象的对称及平移等知识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围.(4)解析几何应用题，在新教材引入“线性规划”后，使此类题目的命题点从原来的椭圆应用题、双曲线应用题、抛物线应用题又增加了线性规划应用题，解此类应用题往往在理解题意的基础上，利用先行规划求最优解、直线的夹角定比分点公式、或利用圆锥曲线的定义或性质、使
8、用导数与切线的关系等求解问题.应试策略应用题的解法(5)排列组合、概率应用题，此类问题无论从内容还是从思想上都能体现实际应用的意义.排列组合的问题、抽样方法常出现在选择或填空的小应用题，常考查有限定条件的组合与排列问题，从正面或反面入手，当限定条件较多时，正面求解要注意树图列举法的使用或分类讨论思想的应用；当正面突破较困难时要注意反面考虑；抽样方法主要考查概念，在选择填空题里出现较多，属于容易题.概率题目主要出现在解答题，分布列及数学期望是高考的热点，考查分类讨论、化归思想，独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望及方差、标准差；正态分布都可能成为考查的对象. 应试策略应用题的解法3.要
9、做好高考应用题，要注意以下三个方面：(1)文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目中的已知量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所求，思考可能采用的方法审题(2)建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模，其中代数建模主要利用函数、数列、不等式、概率等知识进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等关系上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题.(3)运算关：考查学生运算的稳定度，精确度.应试策略应用题的解法考 题 剖 析1.（2007梅州市二模）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保
10、管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.（）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；（）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）.问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由.考题剖析应用题的解法考题剖析解析（）设该厂应隔x(xN+)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1饲料的保管与其它费用每天比前一天少2000.03=6（元），x天饲料的保管与其它费用共是6(x1)+6(x2)+6=3x23x(元)从而有y1= (3x23x+300)+2001.8= +3x+357417当且仅当 =3x，即x=10
11、时，y1有最小值即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.应用题的解法考题剖析（）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2= (3x23x+300)+2001.80.85= +3x+303(x25)y2= +3当x25时，y20，即函数y2在25，+)上是增函数当x=25时，y2取得最小值为390，而390417该厂应接受此优惠条件应用题的解法考题剖析点 评这是一道以常见的进货及储存费用为背景而命题的应用题.审题时要注意是平均价格的计算，此题涉及到利用基本不等式求最值的知识，要注意应用
12、均值不等式的条件，在第一问中可以直接应用均值不等式进行计算，而第二问最利用函数的单调性来求解.应用题的解法考题剖析2.（2007福建）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3 元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每 件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为(12x)2万件.（）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函 数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大 ，并求出L的最大值Q(a).解析（）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系 式为: L=(x3a)(12x)2，x9，11.应用题的解法考题剖析（）L(x)=(12
13、x)22(x3a)(12x)=(12x)(18+2a3x).令L=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）.3a5，86+ a .在x=6+ a两侧L的值由正变负.所以:（1）当86+ a9即3a 时，Lmax=L(9)=(93a)(129)2=9(6a).应用题的解法考题剖析（2）当96+ a 即 a5时，Lmax=L(6+a)=(6+ a3a)12(6+ a)2=4(3 a)3，所以Q(a)=答：若3a ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6a)（万元）；若 a5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3 a)3（万
14、元）.应用题的解法考题剖析点 评本题主要考查函数及应用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力. 本题关键是求出利润L（万元）与售价x的函数关系式，从而将待求的最值转化为目标函数三次函数的最值，这时方法明朗即利用导数求最值.应用题的解法考题剖析3.（2007湖南部分学校联考）关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营.据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤 积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递 增20万元.方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口 淤积并提高吞吐能力.港口改造需用时4
15、年，在此期间边改造边运营.据测算 ，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比 上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上.（1）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正 数）？（2）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益收入投资）应用题的解法考题剖析解析（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数.在方案乙中，前4年的总收入为=26006000, 故n必定不小于5，则由 2600+3201.54(n4)6000，解得n6 ,故n的最小值为7.答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资.应用题的解法考题剖析（2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1, y2万元，则y1=760n50n+ n(n1)20=10n2+720n, 当n4时，则y10, y20,可得y1y2.当n5时，y2=2600+3201.54(n4)6000=1620n9880，令y1y2, 可得1620n988010n2+720n,即n(n+90)998, 由10(10+90)998, 9(9+90)998, 可得n的最小值为10.答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益
