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1、第二节 数列的极限一、概念的引入二、数列与极限的定义三、数列极限的性质有很多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的 ，而必须通过分析一个 无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了 极限概念和极限方法。例如，我国古代数学家刘 徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法 割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”1、割圆术：播放刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可
2、割，则与圆周合 体而无所失矣”刘徽一、概念的引入“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一、概念的引入“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一、概念的引入“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一、概念的引入“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一、概念的引入“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一、概念的引入“割之弥细，
3、所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一、概念的引入“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一、概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正 边形的面积公元3世纪刘徽（约225-295）公元5世纪祖冲之（约225-295）最新成果_2、截丈问题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”二、数列与极限的定义例如注意 ： 2.数列对应着平面上一个点列.可看作一 动点在平面上依次取1.数列是函数数列的几何意义对于数列,我们不能写出它的所有各项,因此 有必要考察它的变化趋势对于简单的例子而言，根据上面给出的极限 概
4、念，可以凭观察来判断它们是否存在极限。但 是数列并非总是这样简单的，仅凭观察来判断数 列的变化趋势很难做到总是准确，特别是在进行 涉及到极限的论证时，更不能以观察的结果作为 推理的依据。因为在定义中怎样才算“无限增大” 和“无限接近”是不清楚的。因此有必要寻求精确 的数学语言来对数列的极限加以定义，以便可对 数列的极限进行严格的验证。播放问题： “无限增大” “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?极限的直观定义直观结论如果数列没有极限,就说数列是发散的.注1.注2.注3.几何解释:直观定义严格定义注意：数列极限的定义未给出求极限的方法, 但我们可以用定义来证明极限的存在。例1证所以于是按极限定义得注意: 关键是找N,一旦N找到，就证明完了例2证于是按极限定义得例2(备用)证于是按极限定义得例3证要使只要即亦即因此于是按极限定义美国的一套著名的微积分教材中 告诉学生，如果弄不懂这样的定义，“就像背一首诗那样把它背下来！这样做， 至少比把它说错来得强”四、数列极限的性质1、有界性例如,有界无界定理1 收敛的数列必定有界.证由定义,虽有界但不收敛 .数列说明: 此性质反过来不一定成立 .例如,2、唯一性定理2 每个收敛的数列只有一个极限.五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性、
