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1、第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、一阶齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 四、小结1如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与这个可分离变量的方程或可以写成的形式,易于化为形式特点 变量的微分之积. 两端积分可得通解.一、可分离变量的微分方程2可分离变量的方程求通解的步骤是:分离变量,两边积分其中C为任意常数.就是方程的通解分离变量法.1.2.由上式确定的函数(隐式通解).这种解方程的方法称为将上式3例1 求解微分方程解分离变量，两端积分，4例2解5利用变量代换求解方程下面用变量代换的方法来简化求解微分方程.变量代换在数学的各个方面都是极重要的, 极限运算和积分运算中已
2、看到了变换的作用.6利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为7二、一阶齐次微分方程的微分方程称为齐次方程.1.定义2.解法作变量代换代入原式得到 u 满足的方程8可分离变量的方程分离变量两边积分,求出通解后, 就得到原方程的通解.9例 1 求解微分方程微分方程的解为解10例 2 求解微分方程解11微分方程的解为123、可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.解法13有唯一一组解.得通解代回14解代入原方程得15分离变量法得得原方程的通解方程变为16小 结2.齐次方程可化为齐次方程的方程1.可分离变量的微分方程分离变量两端积分解法: 隐式(或显式)通解
3、17作业:p525 1(4,6,8,10) 2(1,3) 18练 习 题1.求方程 的通解.2.方程是否为齐次方程?191.解 分离变量两端积分为方程的通解.隐式通解20方程两边同时对 求导:原方程是齐次方程.2.一般,未知函数含于变上限的积分中时,常可通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出初始条件而解之.21练 习 题122练习题1答案23练 习 题224练习题2答案25一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为一阶线性齐次微分方程.上方程称为一阶线性非齐次微分方程.三、一阶线性微分方程例如线性的;非线性的.26齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)272.
4、 线性非齐次方程线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.显然线性非齐次方程的解不会是如此,之间应存在某种共性.设想非齐次方程 待定函数线性齐次方程的通解是但它们的解是28从而C(x)满足方程29即一阶线性非齐次微分方程的通解为常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为 待定函数的方法.30非齐次方程的一个特解对应齐次 方程通解一阶线性方程解的结构注一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用.31解例132例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .两边求导得解解此微分方程即可。33所求曲线为34伯努利(Bern
5、oulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.3、伯努利方程解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.雅个布 伯努利 (瑞士) 1654-170535求出通解后，将 代入即得代入上式得这是关于z,x的一阶线性微分方程36解例 337例4 用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为伯努利方程38解分离变量法得所求通解为39解代入原式分离变量法得所求通解为另解40注：方程中出现等形式的项时,通常要做相应的变量代换41小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程42一阶微分方程一阶微分方程的解题程序(1) 审视方程, 判断方程类型;(2) 根据不同类型, 确定解题方案;(3) 若方程的求解最终化为分离变量型的, 则作适当变换; 若最终化为全微分型的, 则找出适当的积分因子; (4) 做变量替换后得出的解, 最后一定要 还原为原变量.43注参数形式的.解方程时, 通常不计较哪个是自变量哪个是 因变量,视方便而定,关系.关键在于找到两个变量间的 解可以是显函数, 也可以是隐函数,甚至是44思考题求微分方程 的通解.45思考题解答46练 习 题474849练习题答案5051
