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1、学生对上述联想的效应进行提炼,设计出各种不同的证题方案(此题有十多种证法,这里就不一一列举了) .一个数学问题的解决,往往是一个复杂的联系过程.在这个过程中就需要联想,只有让学生学会怎样捕捉信息,广泛地展开联想,加以同化,才能顺利地解决问题.因此,联想是解决问题的桥梁,是培养学生思维灵活性、 发散性和独创性的有效措施.参考文献1 张楚廷.数学教育心理学M.北京:警官教育出版社,1998.2 张可法.中学数学教育心理研究M.长沙:湖南师范大学出版社.1999.反三角函数中公式的图形记忆法张玉福(甘肃省武威市第十一中学 733007)在高中代数教材中,“反三角函数” 一章对学生来说是相对抽象、 较
2、难理解的一章,尤其是对于一些复合问题,要借助某些公式才能顺利求解,而教材中又没有对这些重要公式进一步推导,对此学生往往束手无策、 望而却步.这种 “无策” 与 “却步” 的直接原因之一就是学生对公式记忆不清,不能灵活应用.为此,本文将笔者在教学实践中的一点拙见 “反三角函数中公式的图形记忆法” 介给如下,以期对教和学有点滴之用.图11 反正(余)弦函数我们建立这样一个直角三角形: (如图1)以1为斜边长,一个锐角B =arcsinx ,这个角所对边长为x ,另一角则为arccosx ,由勾股定理可知这个角的对边长BC =1-x2.显然有下列公式成立:sin(arcsinx) = x ,cos(
3、arcsinx) =1-x2,tan(arcsinx) =x1-x2,cot(arcsinx) =1-x2 x;sin(arccosx) =1-x2,cos(arccosx) = x ,tan(arccosx) =1-x2 x,cot(arccosx) =x1-x2;arcsinx +arccosx = 2, | x |1.例1 求cos(arcsin4 5)的值.解 直接由公式可得cos(arcsin4 5) =1- (4 5)2=3 5.例2 求tan(arccos3 5)的值.解 直接由公式可得tan(arccos3 5) =1- (3 5)23/5=4 3.2 反正(余)切函数我们建立
4、这样一个直角三角形(如图2) ,以图21+ x2为斜边长,一个锐 角B =arctanx ,这个角相对边长为x ,另一个锐角A =arccotx ,这个角所对边长为1,在这个直角三角形中就能得到如下公式:sin(arctanx) =x1+ x2,cos(arctanx) =11+ x2,tan(arctanx) = x ,cot(arctanx) =1 x;sin(arccotx) =11+ x2,cos(arccotx) =x1+ x2,tan(arccotx) =1 x,cot(arccotx) = x ;512002年第2期 数 学 教 学 研 究arctanx +arccotx = 2
5、, xR.例1 求sin(arctan3)的值.解 由公式直接可得sin(arctan3) =31+32=310 10.例2 求cos(arccot2)的值.解 由公式直接可得cos(arccot2) =21+22=2 5 5.以上就反三角函数的若干公式,阐述了反三角函数有关公式的记忆方法,并结合图形加以说明,希望帮助学生在学习反三角函数的过程中,能更容易理解和记忆反三角函数的有关公式.选择创新解题思路的几个途径胡玉梅(天津师范大学数学系 300074)“问题是数学的心脏”,利用解题来培养思维的创造性是发展学生创新能力的一个重要手段.虽然数学题目浩如烟海,类型千差万别,解题方法多种多样,但是往
6、往只要掌握了科学的思想方法,就能达到化繁为简、 化难为易的目的.另外,有些题目的解法不止一种,思考方法灵活多样,那么如何从纷繁复杂的题目中发现其特有的规律性,从众多的解题思路中找到一个恰当的解题方法,来快速简捷而又准确地解决问题呢?下面笔者尝试给出几种能够引发创造性解题思路的思考途径.1 一般化与特殊化一般化是从对象的一个给定集合进而考虑到包含这个集合的更大的集合.例如,我们从三角形进而考虑到任意多边形;我们从锐角的三角函数进而考虑到任意角的三角函数1.采用一般化的方法,抓住问题的共性,常常能使一些看上去十分繁杂的问题迎刃而解.例1 在12,22,952中,十位数字为奇数的数有多少个?分析 这
7、是95个完全平方数,要想把它们分别计算出来,再看十位数字是否为奇数是不现实的,我们可以采用一般化的方法.由于任意一个整数都可以表示为10a + b( a , b0,1,2,9)的形式,那么我们就可以抛开题目中个别数的限制,进而考虑(10a + b)2的十位数字.解 由(10a + b)2=100a2+20ab + b2,可以看出,影响(10a + b)2的十位数字的奇偶性的只有b2一项,也就是说,个位数字b的平方的十位数字的奇偶性决定了(10a + b)2的十位数字的奇偶性.那么,我们只需要判断在09这十个数的平方中,有几个十位数字是奇数就可以了.经计算,在09这十个数的平方中,有2个十位数字
8、是奇数,分别为4,6.因为在195中,有210-1=19个数的个位数字为4或6,所以在12,22,952中,十位数字为奇数的数有19个.特殊化是从对象的一个给定集合,转而考虑包含在这个集合内的较小的集合.例如,我们从多边形转而考虑正n边形;我们还可以再从正n边形转而考虑等边三角形1.采用特殊化的方法往往能达到化繁为简、 出奇制胜的目的.尤其在选择题中,往往是一种非常简便的方法.例2 过抛物线y = ax2( a 0)的焦点F作一直线交P, Q两点,若线段PF, FQ的长度分别是p和q,则1 p+1 q等于( )A .2a B.1 2aC.4a D.1 4a. 分析 解这一题目的常规方法是假设直线方程后与抛物线方程联立求解,求出P、Q的坐标(带参数) ,再求p , q.可以想象这种方法有多么繁琐复杂.然而,如果采用特殊值法,问题就简单多了.观察答案选项都为定值,因而可以断定结论与61数 学 教 学 研 究 2002年第2期
