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1、2 8 数学通讯 一 2 0 l 4 年 第 l l 期( 下半 月) 解题 方法 - 证 明 设 一 警 ， 则 等 价 于 证 明c o s + C O S 2 0 ” 十 i 十 十c 0 s ， z 臼 一一 由前 文知 ， l + c o s # + c o s 2 0 +C O S n O =：1 -cos0-cos(nq-1)0-t- cosn0 2- 2 c o s 0 2 丌 2( + 】 ) 7 c 2 nn 一 。 一 。 。 一 十 。 o 2n +l 2 2 c 。 s 2 7 c 7 c 7 r 一。 。 g X -$ 十。 。 。 。 2 n + 1 1 一 一
2、， 2 (1 - C O S ) 所以， c o s 0 + c o s 2 0 +c o s n 0 =一 告， 得证 注 ： 特 别地 ， 取 一 3 ， 即 可 得 到 第 5届 I MO 试 题 ( 证 明 ： c 。 s 号 一 c 。 s + c O s 了3 n = I J ； 取 n 一 5 ， 即 可得到 2 0 1 2年全国高中数学联赛 安徽省预赛 第 3 题 ( 求 值 ： c 。 s - C O S 各 + c 。 s - C O S 箬 + 5 7 c 、 。 可 参考 文献 ： 1 程汉波 ， 杨春 波 配 以对 偶 ， 柳 暗花明 由一道试 题 的“ 特别奖” 解
3、 法引 发的思 考 j 数 学通讯 ( 下半 月) ， 2 0 1 2 ( 1 2 )， 2 4 2 6 2 林晨 曦 把 实数 扩 充 到复 数 以后 J 数学 通报 ， 1 9 8 0 ( 6 ) ， 1 4 一 l 5 3 邹慧群 把 实 数扩 充到 复数以后 的两点补充 J 天 津教育 ， 1 9 8 1 ( 7 ) ， 2 4 2 5 4 刘敏思 ， 欧 阳露莎 复变函数论 M 武昌 ： 武汉大学 出 版社 ， 2 0 1 0 5 潘圣荣 复数在三角级数求 和中的应 用 J 数学教学 ， l 9 8 2 ( 5 )， l 8 ( 收稿 日期 ： 2 0 1 4 0 5 0 8 ) 例
4、谈“ 三角换元法“ 在解题中的应用 王 耀 ( 江苏省苏州市 田家炳实验高级中学 ， 2 1 5 0 0 6 ) 换 元思 想是一 种 经 典 的 数 学 思 想方 法 ， 本 文 主 要 讨论 三角换 元法 在 解 题 中的应 用 ， 这 一解 法 多 应 用于解决函数或不等式 的最值问题 ， 是实现解题 目 标 的一种有效转化策略正因为此法的广泛应用价 值 ， 笔者将利用这种方法再来分析文 中的几个高考 或竞赛试题 ， 与读者交流， 欢迎批评指正 例 1 ( 南通 市 2 O 1 4届 高三 第 二 次调 研 ， 2 0 1 3 年全国高中数学联 赛江苏赛 区复赛)若实数 n ， b ，
5、C 满足 “ 。 +b c 1 ， 求 “ +b +C的最大值和最小值 分析此题设计精巧 ， 可以从多角度研究 ， 思维 分析 切 口较 宽 ， 解 法也 较多 然而 ， 根 据题 中条 件 的 结构特征 ， 可考虑利用圆面 的参数方程 ， 即“ 三角换 元” 的数学 思想方 法 解析设 n =T C O S O ， b =r s i n 0 ， 其 中 R， 0 r c 1 ， 则 n十6 +f = r ( s i n 0 + c o s 0 ) + C 一 s in ( 十 ) + c ， 由 s in ( 十 号 ) 1 ， 1 可 知“ + 6 + c 一 r +f ， +c 因为 o
6、 r 1 ， 那么 十c 1 + ， 当且仅 当 “ 一6 一, g， c =l时， 等号成立； 又 一 r +c 一 + ： 一 一 1，当且仅当 “ = = = 6 ：一 1， c = = ： 时 ， 等号成立 因此 ， a +b 十C的最大值 为 1 + ， 最小值 为 1 9 。 -解题 方法 数 学通讯 一 2 0 1 4年第 l 1 期( 下半月) 2 9 例 2( 2 0 1 3年浙 江 大学 自主招 生试题 )若 X +2 。 一7 ( z， R) ， 则 X + Y 的 最 小 值 为 分析此 题 为二 元 二 次方 程 中的最 值 问题 ， 常 规解法可对条件进行配方后 三
7、角换元 ， 或进行构建 齐次式求解 ， 但是这两种解法都需要 较强 的计算 基 本功为此 ， 笔者尝试对结论 中的二元平方关系进 行三角换元 ， 大大简化了计算过程 解析令 z r c o s 0 ， Y r s i n O ( O E R， r 0 ) ， 则 由条 件可知 , - 2 C O S +2 r s i n 0 c o s 0 -r 。 C O S 一7 ， 整 理 得 ，。 s i n ( 2 0 + 等) 一 7 那么， 一 ， i n ( 2 0 + ) 又由 0 6 R， 0得到 ， 则 ( z + ) ： 点评这种“ 逆向” 的处理方法不失为一种有效 的解法探究在教学实
8、践 中， 笔者也尝试从几何 性 质进行分析 ： 即二次 曲线 X 。 十2 x y = = = 7上的点 还在一系列同心 圆 z + 。 一 上 ， 只要求最小 半 径， 体现了问题的几何本质， 这在一定程度上也加深 了学生对 数形 结合 思想 的认识 和理 解 例 3( 2 0 1 3年浙江省高 中数学竞赛)设二次 函数-厂 ( z ) ：a c e + ( 2 b + 1 ) z a 一2 ( n =2 - 0 ) 在 区 间 3 ， 4 上至少有一个零点 ， 求 a 。 +6 的最小值 分析这道竞赛题考查 的重点在于“ 函数与方 程” 的数学转化思想 ， 标准答案给出的也正是主元转 化的
9、方法 ， 即转化为点到直线距离的关系来求解， 对 思维要求较高后来 ， 此题也被用来作为高考模 拟 试题 ， 那么对于没有接受过竞赛辅导的学生 ， 能否有 常规 解法 呢?经 笔者 分析 ， 得 到如下 解题 过程 解析设 “ +b 一 ( r 0 ) ， 再 令 ( 一r c o s O ， b = = = r s i n 0( R) 由题意可知 ： XE 3 ， 4 3 ， 使得 r ( x 。 一1 ) c o s 口 + 2 r x s i n O =2 一z成立 ， 即 r 。 ( 。 一1 ) 。 +4 r 。 s i n ( 0 + ) =2 一 ， 则 有I s in ( 0
10、+ I = 与赢 1 ， 即r 砉 g ( z ) 又g ( ) 一二 二 ， 在 3 ， 4 - _ Eg ( z ) 0 恒成立， 那么E g ( x ) ； 一g ( 3 ) 一 综 上可 知 ， n +6 点评 三角 换元 在这 里再 一 次体现 了它 的超 强 实用性 ， 利 用 公 式 “ “ s i n + b c o s 0 = 、 s i n ( 臼 + ) ” 将问题转为不 等式 问题 ， 这些过程充分体现 了 数学解 题思 维 的“ 通 法 自然化 ” 例4 已 知n 0 ， b O ， + 一2 ， 求。 + 6 + 的最小 值 分析 此题 改 编 于 武汉 市 2 0
11、 1 0届 高 三 2月调 研试题 虽 可利 用 直 线 的 截距 式 方 程 分析 得 到 “ n +6 + 干_J 表示过点 ( 4 g， 1 ) 的直线在第一象限 内与坐标轴正方 向构成 的直角三角形 的周长问题 ， 然而利用几何性质去研究 的话 ， 难度较大 那么 ， 根 据题中问题结构而采用三角换元 的方法 ， 也可顺利 得解 解析设 “一 r C O S O ， b = = = r s i n 0( r 0 ， 0 0 时， = _ ； 当 厂 ( ) 0 ， 6 0 ， o ， ， o ， 一m+芋一1 ， 则 +6 十 干 的最小 “ D 值 为 2 ( + + ) ； 还有个
12、类似 的对偶形式 的定理 2 2 ： “ 已知 n 。， b O， 7 7 z O川 0， mn+ Dn 一1 ， 其 中 0 ， 0 ( o ， 昙) ) ， 由 十 一1 得 到 r 一 ， 因此 “+ 6 一 = = = + + 令 一 t a n ( R) ， 则 “+ b一 、 一 一m ( 1 tp - 1 ) + 1 - tz 一 雨 2 t l一 2 。 2 “ “ 1+ “ 雨i +n 厂 ( ) ； 由 ( ) 一 ，z + 鲁 ， 当 ( ) = o 时 ， 一 当 O ff _1 N_ , ， 可毗 1n 厂 ( 一2 + 一 c 一 一 一 2 c + 一 、 ) 例
13、 5 ( 2 0 1 4年苏州市市区直属 高中青年数学 教 师基本 功 比 赛 )已知 函 数 厂 ( ) 一 3 2 2 - X - - ? l ( R川N ， z ) 的最大值 为 ， 最小值为 b 一( 1 -a ) ( 1 6 ) ， 则 C = = = 分析此题构思新颖 ， 将函数与数列结合体作 为考 查教 师基 本 功 试 题 ， 方 法 较 多 ， 可 采 用 判 别 式 法 、 基本 不等式 法 或者 进行 函数 求 导计 算试后 ， 笔 者发现利用三角换元进行求解， 效果更佳 解 析 厂( z) 一 3 2 2 - X- 7 l一 _ 专 ， 令 一 一丢 = ta n ，
14、则 -z 一 ， 代 入 化 简 得 l厂 ( ) = = ( 2 2 +3 ) +2 s i n ( 2 0 + ) ， 即有_厂 ( ) ( 2 n +3 ) 一2、 干 ， ( 2 ， 2 +3 ) + 2 F ， 计算得到 C 一 1 一-厂( ) 1 一f( ) 2 7 2 2 7 2 +3 2 7 2 +2、 7 2 。 +3 一 。 l 2 4 9 3 点评此题针 对 结 构 “ 1 十 。 ” 进 行 “ 三角 换 元 ” 操作， 转化为三角函数最值问题， 解题思维清晰， 便 于学生理解本质上讲 ， 很多可利用判别式法求解 的二次分 式结 构 的最值 问题 都 可仿 儿 H 上述解 法进行 转化 综上所述 ， 文中分析的例题皆为高考、 模考或者 自主招生考 试题 ， 都是 以不 等式 或 函 数为 背景 命 制 的最值 问题要解 决这类问题 ， 需要选择合理的解 题 途 径 ， 利用 条 件化 、 结构 化 、 自然 化 、
