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1、2 6 上海中学数学 2 0 1 2年第 l 1期 例析双 曲线 中的易错 点 3 1 2 4 6 7 浙江省嵊 州市长 乐中学 过 江英 相较于椭圆 、 抛物线 ， 双 曲线 的图形变成 了 两支 曲线 ， 由此产生了一些不 同于椭 圆、 抛物线 的独特性质 ， 因此学生在学 习中感 到 比较难 ， 有 时会犯概念模 糊 、 忽 视条 件 、 推理不 严 、 考虑 不 周各种错误 笔者试 图通 过对几 例 双 曲线易错 题的剖析 ， 帮助学生全面准确理解 已知条件 ， 特 别是 隐藏在 已知条 件 中的条 件 ， 从 而提 高解题 能 力 一、概 念模 糊 概念是数学理论体系 中十分 重要
2、的组 成部 证 明：由 已知 条 件 可 得原 不 等 式 等 价 于 b C 。 a c a 、3 d b+ a c。b c + b a c + 6 c ， 2 这是显然 的， 运用柯西不等式的变式可得 + 军 + 专 ( n b + b c + ca ) 专 n 6 + n c 6 f + 。 二，一 2 、 “ 。 。 二，一 2 3 ( a b c ) 一 事实上 ， 本题 还 可 以推广 为 ： 若 N ， 满 足 a b c 一1 ， 则有 一 上 上 旦 a 2 n + ( 6+ c ) b 。 ( c + 日) c 。 _ ( a+ 6 ) ， 2 评注 ：上述 I MO试题都
3、 难 以入手 、 证 明复 杂 ， 若运用柯西不等式的变式则迅 速获解 因此 如何充分利用柯西不等式 变式 的外 形结构 和本 质属性 ， 使得一些难题迎刃而解 ， 是 摆在奥赛 教 练和高中一线教师面前一个重要而紧迫的课题 六 、借 助几 何知 识来使 用变式 1 1 ( 第 2 2届 I MO试 题) 设 P是 面积为 S 的ABC内一点 ， P到三边 BC， C A， AB的距离 分别为 d ， d ， d ， 记 B C =a ， C A=b ， A B =c 求证 ： 鱼上 、 、 堡 鱼 d d，d 2 S 证明 ：由距离联想到三角形 面积公式 ， 并利 用 上述柯西不等式 的变式
4、可得 d + d + d 一 著a d + b d + 麦 l 。 2 3 1 。 2 c 。 分 它是构成 判断 、 推理 的要 素 因此 必须 弄清 概念 ， 搞清概念的 内涵和外延 ， 为判断 和推理奠 定基础 概念模糊就容易思维混乱 ， 产 生错误 例 1 已知 M ( 一2 ， 0 ) ，N( 2， 0 ) ， I P M l l PNl 一4， 则动点 P的轨迹是( ) A双 曲线 B 双曲线左边一支 C 一条射线 D 双 曲线右边一支 错解 ：由双曲线 定义直接得到答案 B 剖析 ： 双 曲线定义 中有条件 ： 到两定 点距离 差的绝对 值 为常数 ( 小 于两定 点距 离) ，
5、 而该题 中没有满足这 个条件 ， 常数 与两 定点 距 离相 等 ( a+ 6 + C ) ( a+ 6 + C ) a d + b d ， + c d 2 S 事实上 ， 由上 述论 证 ， 本 题 可 以推 广到 ： 设 P是面积 为 S的 凸 边 形 A。 A A A AJ 内 一点 ， P 到各 边 A A： ， A A。 ， ， A A A A 的距离分别为 d ， d ， ， d 一 ， d ， 记 A A 一a ， A 2 A 一a 2 ， ， A l A 一a 1 ， A Al a 则有 一 一 一 _一- I dl。d 2 。 。d 1 d ， 、( a l + a 2 +
6、 + a l + a 一 具体使用上述柯西不等式 的变式关 键在于 理解题意 、 依据外形结构特 征 ， 妥善 、 合 理 、 恰 当 地变形 ， 同时结合 均值 不等 式 、 三角 、 平 几 等知 识 ， 更能 凸显该变式 的功能 参考 文献 1 蔡玉 书 数学 奥林 匹 克不 等式 证 明方法 和技 巧 ( 下 ) M 哈 尔 滨 ： 哈 尔 滨 工 业 大 学 出 版 社 ， 2 011 2 王淼生 数学 百题 精彩千解 M 福州： 福建教育 出版社 ， 2 0 0 9 E 3 3沈文选 奥赛 经典解 题金钥 匙高 中数 学 M 长 沙 ： 湖南师范大学出版社 ， 2 0 0 6 4
7、吴振奎 数学解 题中的特殊方法 M 哈尔滨 ： 哈 尔滨工业大学 出版社 ， 2 0 1 1 5 熊斌 ， 陈双双 解题 高手 高 中数学 M 上 海 ： 华 东师范大学 出版社 ， 2 0 0 8 上海 中学 数学 2 0 1 2年 第 1 1期 了 ， 所 以只能选 C 2 2 例 2 双 曲线 一 一1上一点 P到右焦 点的距 离是 5 ， 则下面结论正确 的是 ( ) AP到左焦点的距离为 8 BP到左焦点 的距离 为 1 5 CP到左焦点的距离不确定 D这样 的点 P不存 在 错解 ：设 双 曲线 的左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F 2 ， 由双 曲线的定义 得 l P
8、F l l P F 。 l 一1 0 ， 。 lPF。 l ：5 ， 。 1 PF j l PF2 f +1 0 1 5 ， 故选 B 剖析 ： 若 j P F 。 一5 ， I P F 。 l 一5 ， 则 f P F l + J P l 一2 0 ， 而 F l 一2 c 一2 6， 即有 l P F I + l PF 6 o ) 的右 焦点作斜率 为 的直线 分别交 曲线 E的左 、 右 支 于 A， B， 若 在 曲 线 E 上 不 存 在 点 P， 使 得 P AB构成 以A 为直角顶点 的直角 三角形 ， 则 双 曲线 E的离心率为 ( ) Ae = Be 一 C e E( 3 ，
9、 +C 3 ) D _ 这样 的双曲线不存在 错解 ： 过 A作 AB的垂线 Z ， 当 z 与渐近线 Y 一一旦 平行 时 ， 点 不存 在 ， 故 一旦 一一 ， 即 一 ， 6 一、 ， 又 c 2 一 +6 。 ， 于是 c 一3 a 。 ， “ 则 P 一 3 ， 故选 B 剖析 ： 本题错 解的原 因是忽 视 了条 件 a b o ， 此时 C 一n +6 2 0 ”， 当 是 一2时代 入方程 可知 0 ， 故这样 的直线不 存在 所以使 用一 元二 次方 程 的根与 系数 关 系 时必需 要注意检验根 的判别式 0是否成立 错 解 2利 用“ 点差 法” 求解 时 ， 从 (
10、1 ) ( 2 ) 得 到( 6 ) 并不等价 其实所求 出 的直线 满足它与该 双 曲线的渐近 线相交 时 的情形 故所 求 出的 直 线必须进行检验 f 一 2 r 一 1 正解 ：( 接 上) 检 验 ， 1 消去 并 一T 一 整理得 2 。 一4 +3 0， 因为 A一8 0 ， 所 以 直线与双 曲线没有交点 ， 这与假设 矛盾 所 以符合条件的直线不存在 例 7 直线 ： n +1与双 曲线 C： 3 r 一 一1相交 于 A、 B两点 ， 是 否存在 这样 的实数 a， 使得 A、 B两点关于 。 ： 一2 r对称 ? 错解 ：设存 在实 数 a ， 使得 A、 B两 点关 于
11、 2 ： 一2 对称 并设 A( 1 ， 1 ) ， B( T 2 ， 2 ) 则 l+ 2一 a( T l+ 2)+ 2，所 以 一2 X ， 即( 2 -a ) ( _ + ) 一2 ( 1 ) 把 z 。 ： a r +1代 人 3 一 一l消 去 整理得( 3一a ) 一 2 a 一20， 则 r 1 + 2 一 2 a( 2) 由( 1 ) ( 2 ) 得 a 一昔 存在实数 一 。使得 A、 B两点关 于 z ： 一2 对称 剖析 ：审视本题错解 的过程 ， 不难看 出“ n 一 ” 是“ z 与 c有两个交点且这两点关于直线 对称” 的必要 条件 而依 题 意 ， 存在 的 实数 a的 值应该是使“ z 与 C有两 个交 点且这 两点 关于 直线 z 对称” 的充要条件 所以本题的错误在于 推理时把 必要条件 当成 了充要条件 正解 ： ( 接上) 当 一_ o时， 是 B ， 一昔 2 3 一1 ， 这与 A、 B两点 关 于 z ： ： 一2 对 称矛 盾 ， 所以这样 的实数 a不存在
