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1、 专业_ 姓名_ 学号_ 第一章 质点运动学 一、选择题 1-1专业_ 姓名_ 学号_ 第一章 质点运动学 一、选择题 1-1 如图 1-2 所示，质点作匀速圆周运动，其半径为R，从A点出发，经半圆到达B点，试问下列叙述中哪一个是不正确的？ （A）速度增量的大小为0； （B）速率增量0v； （C）位移大小Rr2； （D）路程RS。 解答 解答 因速度的大小相同，即速率相同，可是速度的方向相反，因而速度增量02,所以本题应选（A） 1-21-2 下列说法中正确是的 （A）质点沿Ox轴运动，若加速度0a，则质点必作减速运动； （B）在曲线运动中，质点的加速度一定不为零； （C）若质点的加速度为恒矢
2、量，则其运动轨道一定为直线； （D）当质点做抛体运动时，其法向加速度n和切向加速度t是不断变化的，因此22 tnaaa也是不断变化的。 解答 解答 在曲线运动中，速度的方向不断变化，速度在变化，就必定有加速度。 判断质点作加速运动还是减速运动，不能仅仅凭加速度的正负来断定速度变化的情况，只有当加速度a与速度同号，即两者方向相同时，质点作加速运动，反之，两者异号，即方向相反，质点做减速运动。 若a为恒矢量，即其大小、方向均不随时间而改变，则质点作匀变速运动，但不一定作直线运动，如抛体运动，就是一种匀变速曲线运动，加速度为重力加速度，运动轨道为抛 物线。 抛体运动中切向和法向加速度虽不是断变化的，
3、 但两者矢量和却恒等于重力加速度， 即gaaatn22。本题应选（B） 。 1-3 1-3 下列说法中，哪一个是正确的？ （A）质点作匀速率圆周运动时，其切向加速度一定等于零； （B）质点作匀速率圆周运动时，其加速度恒定； （C）质点作变速率圆周运动时，其加速度方向与速度方向处处垂直； （D）质点作变速率圆周运动时，其加速度方向必与速度方向相同。 解答解答 匀速率是速率不随时间t而变化，所以加速度的切向分量0tdadt。 匀速率圆周运动中，切向加速度为零，但法向加速度的方向沿半径指向圆心，其大小Ran2不变，但方向随时间不断变化。 变速率圆周运动中， 由于速度的大小和方向都在变化， 所以加速度
4、的方向不再指向圆心，总是指向圆周的凹侧。并且当0td dt时，速率增加，0tdadt时，速率减慢，这两种情况，根据矢量合成如下图所示，可见加速度总是指向圆周的凹侧。 所以变速率圆周运动的加速度，一般不与速率方向垂直，只有作匀速率圆周运动，且切向加速度为零时，加速度等于法向加速度，这时加速度才与速度垂直。本题应选（A） 。 1-4 1-4 一小球沿斜面向上运动，其运动函数为)(452SItts则小球将在何时开始从斜面往下运动？ （A）s4 （B）s6 （C）s2 （D）s3 解答解答 tdtds24，小球沿斜面运动到最高点时0，即stt2, 024。本题应选（C） 。 1-5 1-5 某物体沿O
5、x轴作直线运动，加速度a与时间t以及速度的关系式为tka2，式中k为大于零的恒量。已知物体的初速度为0，则速度与时间的函数关系为 （A）2 21kt； （B）1 2 21 kt； （C）1021 21 kt； （D）021 21 kt。 解答解答 因为22,ddaktktdtdt 所以。 分离变量并积分， 且0t时速度为0，而 在t时 刻 ， 设 速 度 为，0t20-dktdt 则，解得202111kt, 所 以 1021 21 kt。本题应选(C） 。 1-61-6 在相对地面静止的坐标系内，A、B两船都以1s2m的速度匀速行驶。A船沿轴Ox正向，B船沿轴Oy正向。今在A船上设置与静止坐标
6、系方向相同的坐标系Oxy（Ox轴、Oy轴的单位矢量用ji、表示） ，问在A船上的坐标系中，B船的速度（以1sm为单位）为 （A）ji22 ； （B）ji22 ；(C）ji22 ； （D）ji22 。 解答解答 选取地面为静止参考系，A船为运动参考系，B船为运动物体。从静止参考系中观察到B船的速度即绝对速度为jB2地，运动参考系自身相对静止参考系的速度即牵连速度为iA2地，则运动物体B在运动参考系 A 中被观察到的相对速度为BA。根据速度合成定理，绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和，即地地ABAB，ji-i- jAB地BA2222-地则。本题应选（B） 。 1-7 1-7 小船以速度1向东北
7、方向行驶，船上乘客测得风从北方以速度2吹来， 则风相对于地面的速度应由如图 1-5 所示的哪一个矢量合成图确定？ 图 1-5 解答解答 风为运动物体，小船为运动参考系，地面为静止参考系，1为牵连速度， 2为相对速度，为绝对速度，根据速度合成定理，12 ，利用矢量合成法则，在矢量1的末端接着画出矢量2，则从1的始端指向2的末端的矢量就是合矢量。本题应选（D） 二、填空题 1-8 二、填空题 1-8 如图 1-6 所示，将一物体以-1 0sm8 . 9的初速度水平抛出，飞行一段时间后，恰好垂直地撞在倾角为 30的斜面上，如果不计空气阻力，那么物体在运动过程中飞行的时间为 。 解答解答 如下图所示，
8、00 0330cot,xyx（垂直于斜面） ，所以sgty3。 1-9 1-9 一质点沿Ox轴的运动函数为)e(2ntntnmx，式中m、n为恒量。质点在0t时的速度大小 ；加速度大小a ；质点在任一时刻的速度和加速度的关系为 ； 解答解答 可由运动函数求得和，即 (1)ntntdxmedtndmedt所以0t时000,am。又因为maent，所以ma nm1，质点在任一时刻的速度和加速度的关系为amn 1-101-10 在高为h的平台上，有一质量为m的小车， 用绳子跨过滑轮，由地面上的人以匀速度0向右拉动，如图 1-8 所示。当人从平台底脚处O向右走了x的距离时，小车的速度= ，加速度a=
9、。 解答 解答 取平台底脚处O为坐标原点，水平向右为Ox轴。人的速度dtdx0，小车速度的大小为斜拉绳l的长度变化率，即dtdl，由图 1-8 所示的几何关系有222lhx， 该式两端对时间 t 求导得：22dldxlxdtdt，所以dlx dx dtl dt 所以小车的速度为02222xdlx dxxdx dtl dtdthxhx ； 小车的加速度为：dadt，将0dlx dxxvdtl dtl代入，则0 0022dxdllxv lxvddtdtavvdtll，再次将0xvl代入，则22222200000 003223 222()xv lvv lxvlx vhlavvlllhx 1-111-
10、11 如图 1-10 所示，一质点作斜抛运动，初速度为0，与水平方向成0角抛出，不计空气阻力。在O点的dtd_，在O点的曲率半 径 为 ； 在 最 高 点B点 曲 率 半 径 为 。解答 解答 抛体运动的加速度为g，在O点可分解为切向和法向加速度ta和na，如图 1-11所示，所以O点的切向加速度sintdagdt ，负号表示切向加速度方向与0方向相反。 由2 0 0sin gan可得，O点的曲率半径02 0 cosg。在最高点B处，gaanB，所以2 Bg ，又因为B点的速度00cosB。所以 B 点的曲率半径22 00cos g。 1-12 1-12 一质点沿半径r作圆周运动，其角坐标与时
11、间的函数关系（以角量表示的运动函数）为342t，则质点的角速度 ；角加速度 ；切向加速度ta ；法向加速度na ； 解答解答 已知运动函数为324t，按定义式得，质点的角速度212tdtd；质点的角加速度24dtdt；切向加速度rtrat24；法向加速42144rtran。 三、计算题三、计算题 1-13 1-13 一质点在平面直角坐标系Oxy内作平面运动，其运动函数为)(SI4ty2 ，tx。 求（1）运动函数的矢量表示式； （2） 质点在第 1 秒末和第 2 秒末的位矢以及这段时间内的位移； （3）质点的轨道方程。 解： （1）运动函数的矢量表示式：)(42 SIjti tj yi xr
12、（2）第 1 秒末的位矢为：)(4/111SIjir 第 2 秒末的位矢为：)(122SIjir 这段时间的位移为：2131()4rrrij SI 223/ 4|1(3/ 4)1.25( ),arctan36.91rm （3）质点的轨道方程为：)(SI4xy2 1-14 1-14 路灯距地面的高度为H，一身高为h的人在水平路面上以匀速0向右直线行走。求该人头顶在地面上的影子移动的速度。 解答解答 以灯杆与水平面的交点为原点O，建立Ox坐标系，并设某一时刻人头顶的影子在地面上的坐标为( )x t，人头在地面上的坐标为( )x t。由如图 1-17 所示的几何关系可知 xxh xH 得 HxxHh
13、按题意，0dx dt，则头顶在地面上影子的移动速度应为 0 hHH dtdx hHH dtdx 1-151-15 如图 1-18 所示，河中有一小船，人在高为h的岸上，用绳子跨过定滑轮，以恒定速率0收绳拉船靠岸，求船与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。 解答 解答 看了题目前，未经仔细思考，有的同学就认为船在水面上的速度为0cos，对吗？ 按题意，首先列出其运动函数。以滑轮所在处为坐标原点O，建立如图 1-19 所示的坐标系Oxy。将小船视作质点，任一时刻t船的位矢为( )r t，其坐标为( ,)xh，船的运动函数为 jhitxtr)()()( 船的速度为 idtdx dtrd 由图可知，22hrx，所以 idtdrhrridthrd2222 因收绳时绳子变短，收绳速率dr dt应为负值，即0dr dt ，代入上式得 ixhxi hrr022022 负号表示船的速度沿Ox轴的负方向，指向岸边。 由加速度定义式，船的加速度为 ixhixhx dtd dtda2 032022 )(讨论（1）a与的方向相同，船向岸作加速运动，而且是变加速运动。 （2）船的速率为22 0 000,coscosxh x所以这一结论是错误的。 1-16 1-16 一质点作圆周运动， 其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。设为质点在圆周上任意两点的速度1和2之间的夹角，如图1-23 所示。试证
