《（浙江专版）2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教A版选修2_1(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专版）2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教A版选修2_1(1)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.12.1 曲曲线线与与方方程程211&212 曲线与方程 求曲线的方程预习课本 P3436，思考并完成以下问题1曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？2求曲线方程的一般步骤是什么？2新知初探1曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求曲线的方程的步骤小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方
2、程是k( )yy0 xy0(2)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)0( )(3)以A(0,1)，B(1,0)，C(1,0)为顶点的ABC的BC边上中线的方程是x0( )答案：(1) (2) (3)2下列各组方程中表示相同曲线的是( )Ax2y0 与xy0 B0 与x2y20xyCyx与y Dxy0 与ylg 10xx2 x答案：D3动点P到点(1，2)的距离为 3，则动点P的轨迹方程为( )A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)29C(x1)2(y2)23 D(x1)2(y2)23答案：B4若点P(2，3)在曲线x2ky21 上，则实数k_3答案：1 3曲线的方程与方
3、程的曲线的概念典例 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2 之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程xy5 之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0 之间的关系解 (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2 的解；但以方程|x|2 的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程xy5；但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5因此，与两
4、坐标轴的距离的积等于 5的点的轨迹方程不是xy5(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则 活学活用命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0 的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A方程f(x，y)0 的曲线是CB方程f(x，y)0 的曲线不一定是CCf(x，y)0 是
5、曲线C的方程D以方程f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线C上解析：选 B “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0 的解” ，但“以方程f(x，y)0 的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故 A、C、D 都不正确，B 正确曲线与方程的判定问题典例 下列方程分别表示什么曲线：(1)(xy1)0；x14(2)2x2y24x2y30解 (1)由方程(xy1)0 可得x1Error!或Error!即xy10(x1)或x1故方程表示一条射线xy10(x1)和一条直线x1(2)对方程左边配方得 2(x1)2(y1)202(x1)20，(y1)20，Error!解得Error!从而方程表示的图形是一个点(
6、1，1)判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想 活学活用已知方程x2(y1)210(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；2(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值(m 2，m)解：(1)12(21)210，()2(31)2610，2点P在方程x2(y1)210 表示的曲线上，点Q不在方程x2(y1)210 表示的曲线上(2)因为x ，ym适合方程x2(y1
7、)210，m 2即2(m1)210，解得m2 或m所以m的值为 2 或(m 2)18 518 5求曲线的方程典例 已知圆C：x2(y3)29，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程5解 法一 直接法如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以OQC90设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即x2y2x2(y3)29，所以OP的中点Q的轨迹方程为x22 (去掉原点)(y3 2)9 4法二 定义法如图所示，因为Q是OP的中点，所以OQC90，则Q在以OC为直径的圆上故Q点的轨迹方程为x22 (去掉原点)(y3 2)9 4法三 代入法设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题
8、意得Error!即Error!又因为x(y13)29，所以 4x2429，2 1(y3 2)即x22 (去掉原点)(y3 2)9 4直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视活学活用过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程解：法一：设点M的坐标为(x，y)M为线段AB的中点A点坐标是(2x,0)，B点坐标是(0,2y)l1，l2均过点P(2,4)，且l1l2，PAPB，当x1 时，kPAkPB16而kPA，k
9、PB，40 22x2 1x42y 202y 11，2 1x2y 1整理，得x2y50(x1)当x1 时，A，B点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50，综上所述，点M的轨迹方程是x2y50法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PMl1l2，2|PM|AB|而|PM|，|AB|，x22y422x22y22 x22y424x24y2化简，得x2y50，即为所求轨迹方程层级一 学业水平达标1已知直线l：xy30 及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1)( )A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l
10、上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上解析：选 B 将点M(2,1)的坐标代入方程知Ml，MC2方程xy2x2y2x所表示的曲线( )A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于原点对称 D关于xy0 对称解析：选 C 同时以x代替x，以y代替y，方程不变，所以方程xy2x2y2x所表示的曲线关于原点对称3方程x|y1|0 表示的曲线是( )7解析：选 B 方程x|y1|0 可化为|y1|x0，则x0，因此选 B4已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN |MP |MN NP 0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )Ay28x By28
11、xCy24x Dy24x解析：选 B 设点P的坐标为(x，y)，则MN (4,0)，MP (x2，y)，NP (x2，y)，|MN |4，|MP |，MN NP 4(x2)x22y2根据已知条件得 4 4(2x)x22y2整理得y28x点P的轨迹方程为y28x5已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为 10，则动点C的轨迹方程是( )A4x3y160 或 4x3y160B4x3y160 或 4x3y240C4x3y160 或 4x3y240D4x3y160 或 4x3y240解析：选 B 由两点式，得直线AB的方程是，即 4x3y40，y0 40x1 21线段AB的长度|AB|52124
12、2设C的坐标为(x，y)，则 510，1 2|4x3y4| 5即 4x3y160 或 4x3y2406方程x22y24x8y120 表示的图形为_解析：对方程左边配方得(x2)22(y2)20(x2)20,2(y2)20，8Error!解得Error!从而方程表示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)7已知两点M(2,0)，N(2,0)，点P满足PM PN 12，则点P的轨迹方程为_解析：设P(x，y)，则PM (2x，y)，PN (2x，y)于是PM PN (2x)(2x)y212，化简得x2y216，此即为所求点P的轨迹方程答案：x2y2168已知点A(0，1)，当点B在曲线y2x
13、21 上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是_解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y02x12 0又M为AB的中点，所以Error!即Error!将其代入y02x1 得，2y12(2x)21，即y4x22 0答案：y4x29在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PMy轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且OP MN 4，求动点P的轨迹方程解：由已知得M(0，y)，N(x，y)，则MN (x，2y)，故OP MN (x，y)(x，2y)x22y2，依题意知，x22y24，因此动点P的轨迹方程为x22y2410已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ OM ON ，求动点Q的轨迹解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y00)，则点N的坐标为(0，y0)因为OQ OM ON ，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)，则x0x，y0 y 2又点M在圆C上，所以xy4，2 02 0即x24(y0)y2 49所以动点Q的轨迹方程是1(y0)x2 4y2 16层级二 应试能力达标1已知点O(0,0)，A(1，2)，动点P满足|PA|3|PO|，则点P的轨迹方程是( )A8x28y22x4y50B8x28y22x4y50C8x28y22x4y50
