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1、 1I-校园计划 流体力学的学校项目 流体中的波的模块 T.R. Akylas & C.C. Mei 第七章 层状流体中的内波第七章 层状流体中的内波 1 简介简介 由于温度、成份和压力的变化，大气和海洋是连续分层的。海洋和大气中的这些变化可能导致垂直方向流体密度的重大变化。举例来说，来自河流的淡水可能浮在海水上面。并由于扩散程度小，密度差异会保留很长时间。密度分层使得出现流体振荡。产生振荡的回复力是浮力。与这种振荡有关的波动现象称为内波，将在这章讨论。 2 密度不可压缩的分层流体的控制方程密度不可压缩的分层流体的控制方程 我们将推导连续密度分层的不可压缩流体中的波动控制方程组。 在此， 将使
2、用yx,和z笛卡尔坐标系，坐标轴z垂直朝上。在yx,和z轴正向上的速度分量表示为和vu,。流体粒子必须满足连续方程 01=+zw yv xu DtD (2.1) 和动量方程 xp xuutu =+ (2.2) yp yvvtv =+ (2.3) gyp yvwtw=+(2.4) 其中和p分别为流体密度和压力。令流体密度只与熵和成分有关，即只与温位和成分浓度有关，举例说，如盐分和湿度。则固定sq和(或)，qs与压力无关 ()q,= (2.5) 假设产生的运动是等熵的并没有相位的变化，因而对于材料单元来说，和q是常数，2因此 0=+=DtDq qDtD DtD (2.6) 换句话说，对于材料单元来
3、说，只依赖于和，因此q是常数。也就是说这样的流体是不可压缩的，并根据式(2.6)，连续方程(2.1)变为 0=+ zw yv xu(2.7) 对于不可压缩流体，满足密度方程 01=DtD (2.8) 假设速度非常小，我们可线性化动量方程，得 xp tu = (2.9) yp tv = (2.10) gyp tw=(2.11) 下面，我们考虑由平衡状态(静止状态)的扰动产生波动。因此，密度和压力分布是流体静力平衡分布，由下式给出 gzp=(2.12) 当波动展开后，压力和密度变化至 pzpp+=)( (2.13) +=)(z (2.14) 其中，p和分别为压力和密度扰动， 其背景状态是流体静力平
4、衡时密度为p和压力为。密度方程现假设为如下的形式 0=+ zwzwyvxut(2.15) 3运动幅度较小时，非线性项xu/，yv/和zw/可忽略。因此，方程(2.15)可简化为 0=+ zwt(2.16) 其表示在某点由背景密度分布的垂直对流产生的密度扰动。不可压缩流体的连续方程(2.7)保持不变，但是动量方程(2.9)(2.11)假定为 xp tu = (2.17) yp tv = (2.18) =gyp tw(2.19) 我们欲将方程组(2.7)，(2.16)和(2.17)(2.19)缩减为单一偏微分方程。实现如下。我们首先对连续方程求时间导数得 0222 =+ ztw ytv xtu(2
5、.20) 其次，我们分别对方程(2.17)(2.19)中yx,和 求导数，得 t222xtxu = (2.21) 222ytyv = (2.22) tgzttw =222(2.23) 如将方程(2.21)和(2.22)代入方程(2.20)，得 0)(122222 =+ztw yx (2.24) 我们可利用方程(2.16)，消去方程(2.23)中的，得 zgztp t+=222(2.25) 4第三，我们将算子2222yx+应用于方程(2.25)，得 + + + = + 222222222222222yxzgyp xp ztyxx (2.26) 下面，我们应用方程(2.24)消去方程(2.26)中
6、的p，其给出了下列的偏微分方程 012222 2 222222 = + + yw xwNzzyxt(2.27) 其中，我们定义 zgzN= )(2(2.28) 其有频率的单位(rad/sec)，并称为 Brunt-Vaisala 频率或浮力频率。如果假设相对的变化远快于z( )z，则 22 )(1 zwzz (2.29) 并且(2.27)可利用该方程近似 012222 2 22222222 = + + yw xwNzyxt (2.30) 以上假设和 Boussinesq 近似等同。 Boussinesq 近似应用于运动的垂直尺度相对于背景密度的尺度较小时的情况。 其内容包括， 在计算由加速度产
7、生的动量变化率时， 密度设为常数。当动量变化率产生浮力时， 则需要全面考虑密度的变化。 即当动量方程中的垂直分量中有放大系数g。Boussinesq 近似得到垂直速度的方程(2.30)。 3 浮力频率浮力频率(Brunt-Vaisala 频率频率) 考虑一静止的分层流体，其静态密度分布为( )z，随高度的增加而下降。如果流体块从水平上移到zz+z，周围充满着密度为()+z的更轻流体。单位体积的向上浮力为 dzdgzg+)( (3.31) 并且该值为负数。将牛顿定理应用于单位体积的流体块中，我们有 5dzdgt=22(3.32) 或 02 22 =+Nt(3.33) 其中 ( )dzdgzN =
8、2(3.34) 该式称为浮力频率或 Brunt-Vaisala 频率。 这一基本考虑显示一旦流体从它的平衡位置产生移动，重力和密度梯度产生回复力使其振荡。 4 无界分层流体中的内重力波无界分层流体中的内重力波 考虑这种情况， 在整个流体中， 浮力频率或 Brunt-Vaisala 频率为常数。 可得到式(2.23)中传播中波的解，形式如下 N)cos(0tmzlykxww+= (4.35) 其中，为垂直速度幅度，0w(mlkk,=)r 为扰动的波数，为频率。为了使得式(4.35)满足垂直扰动速度的控制方程(2.30)，和kr 必通过频散关系相联系 222222 2)( mlkNlk += (4
9、.36) 因此，内波有在0和的最大值之间的任意频率。内波的频散关系相比于表面波的频散关系特性有很大差异。特别是，表面波的频率只依赖于波数幅度Nkr ，而与此同时，内波的频率与波数的幅度无关， 并只依赖于波数向量与水平方向之间的夹角。 为图解这一特性，我们考虑在波数空间建立球坐标系，也就是说 )cos()cos(kkr= (4.37) )cos()cos(klr= (4.38) )sin(kmr= (4.39) 图 1 给出了波数空间的坐标系。 6式(4.36)给出的频散关系可缩减为 )cos(2N= (4.40) 现在，我们写出量up,和的表达式。由式(2.20)，我们可写为 v)cos()(
10、1022222 tmzlykxmwztw yx +=+ 图 1 波数空间的坐标系 其表明扰动压力由下式给出 p)cos()(212200tmzlykxlkmwp+= (4.41) 从方程式(2.16)，我们有扰动密度，由下式给出 (tmzlykxgN+ =sin002 ) (4.42) 垂直速度分量由方程(2.17)和(2.18)得出 ()()()(tmzlykxmlklkvu+=cos,0122) (4.43) ()()plk=1 0, (4.44) 以上压力和速度波动之间的关系对于从一固定点通过观察推导出波的特性十分有用。 举例，如果测量得到前进波的水平速度分量和扰动压力，波数向量的水平分
11、量可从式(4.44)推7导得出。 图 2 给出了在垂直平面中平面前进内波的特性，包括波数向量。粒子沿着波峰运动。在这个方向没有压力梯度。因此，在运动方向，离子的回复力只有重力分量cosg。回复力也与该方向的密度变化分量成正比，该变化分量为每单位位移的dzd倍。 图 2 在内重力波中速度，压力和浮力扰动的瞬态分布。这是zx,平面视图。沿着斜线，阴影区和实线，波的相位为常数。沿着实线，速度和压力扰动有极值。沿着实线，浮力扰动为0。浮力扰动有极值。沿着阴影区，速度和压力扰动为 0。小箭头表示扰动速度，其总是平行于常相位线。大粗箭头表示相位传播和群速度的方向。 现在考虑随着从 0 逐渐增加到2/时解的
12、变化情况。当0=，粒子的垂直线一起运动，象纵向振动的刚性杆。当粒子的垂直线从它的平衡位置移动，浮力回复力将会起作用，粒子线象是一根弹簧，产生频率为的振荡。不断增加的N的解对应于一起移动的粒子线，8该线与垂直方向呈角。每单位位移的回复力dzd/cos小于当0=时的情况，因此，振动频率也小。当趋于2/时，振动频率趋于 0。当2/=时，不是内波，但是其表示经常观察到的波动的重要形式。例如，这在航空旅游时很常见，可以看到非常平和非常广阔的厚云层。每层云在它自己的水平面运动，但不同的云层之间彼此有相对运动。 4.1 频散影响 实际上，内重力波从来没有由方程(4.35)给出的精确平面波形式，因此必须考虑这
13、些波的叠加。由频散影响变得明显，因不同频率的波有不同的相位和群速度，该结果将在本节给出。对于内波，在波数空间中常频率表面为锥状，=常数。相速度平行于波数向量，并且取决于常相位的锥体。它的幅度为 )cos()(kNkrr = (4.45) 群速度是波数空间中频率gC的梯度。因此群速度垂直于常频率的表面。得出群速度与波数向量成直角。当群速度有一个朝上的分量，相速度就有一个朝下的分量，反之亦然。群速度向量为 )cos,sinsin,cos(sinsin= kNCgr (4.46) 因此，群速度的幅度为sin kNr，它的方向与垂直面成角，如图 3 所示。 为图释频散的影响，我们考虑二维运动的情况。只考虑坐标x和。在这种情况下，波数为。我们考虑一初始局部的波包。由于频散的影响，波包扩散，并以群速度向量运动。该速度向量可简化为 z(mk,)gC)cos,(sinsin= kNCgr (4.47) 相速度垂直于群速度向量。因此，波峰(常相位线)垂直于波包传播的
