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1、3 0中等数学数两组三角恒等式 的应用黄锡忠在平面三角中有与代数中的平方差公 式a一 b=(a+b) (a一b)形似的恒等式:sin“a一sin“p=e o sZp一e o s“a二sin(0+书)sin(“ 一p),(1)与。0 5艺a 一。in“日=eos“日一sinZ“=e o s(a+p)e os(a 一p).(2)这两组恒 等式不妨叫做三角中的“平方差”公式。熟记这两组恒等式 对于解答某些三角问题、几何问题 或综合 题会有所帮 助。恒等式(1)证明如下:解原式二i+Zeo sae o s日eo s(a+p)一eo sZp一。o sZa一e os “(a+日)二i+c o s(a+日)
2、2c o sae o s日一eo s(“+p)一e o sZ。一c o,:日=i+。05(a+日)e o s(a一p)一。05“。 一。0 52日=1+e o sZa一sin“p一eos“a一。05 之日二l一(sin“日+eo s“p)=0.说 明:在用“平方差”公式解题时,要重视公 式 的逆用。1艺51nZa一sinZp(1一e o sZa)一里一(i一。,2日)艺(二)用公式 化简=工(。 。52日一。 。Za)=。i。(a+日)51。(a一p),2例:.化简:。inos、。(粤一。、十,inZ(巧+。、 、乙、41(或, .51。(a+p)sin(a一p)=51,i“ae o oZ日一
3、e o sZasin“p=5in“a(1“sinZ日)一(1一,in“a)sin“p二。inZ“一sin“日)又5ir12a一。in“p=1一eosZa一(1一e o sZp)=e os艺日一eosZa,., .;i。 “a一5in“p二eo sZ日一e o s“a=sin(。+p)5in(“一p)(2)的证 法与(1)类似,留给读者证明。“平方差”公式的证明中引用了“降幂公 式”,显见,能用“平方差”公式解决的问题,都能用“降幂公式”解决之。但有 大量的问题,如 直接 弓用“平方差”公式解决,可使运算过程非常简捷。下面通过例题看看如何用这两组 公式来解题。(一)用公 式求三角函数 式的值例1
4、.已知e os“ +、 05邓=m,求eo s(a+p)“05(a一p)的值。解eo s(“+日)eos(a一日)=eo sZa一sinZp二。osZa(1一。05“日)二。o sZa+eo sZ日一1=m一1.一,一(毛一“)一合S(毛+2“).解原式一”。3”+S羚S(鑫+2”)兰+2 e一合 S,2“一,(尝+2”)介 +COSSln 2(鑫+2”)=一C O S了下+:。、,;。匹1211 2+c。S二5inI2=511 126匹+2。、12/例4化简:e o s“(A一 a)+e o sZ(B一 “)一Zc o s(A一B)。05(A一 叹)。05(B一a)解1C O SCe osp
5、e0Sa1e o ,(0+p)eo,p 。05(a+日) 1原式=eos“(A一a)+l一sinZ(B一a)一2。0 5(A一B)e o s(A一 a)e o s(B一a)=e o s(A+B一Za)eo s(A一B)一Ze o s(A一B)e o s(A一a)e o s(B一。)+1=eo s(A一B)e os(A+B一Za)算.卜.、下O例1983年第 三期一ZC。s(A一 a)e o s(B一a)+1eos(A一B)c o s(A+B一Za)一e os(人+B一2。)+eo s(A一B)3工+1=一e o s“(A一B)+1=sin“(A一B).说明:例3中间两项用公式(1)化积。利用公
6、式si n“x+。O S“x二1先将例4化成适于用公 式(2)的形式。由例4化简的结果 说明原式的值与a无关。(三)用公式化积例5.化1一1。i。 “Za一sinZ日一c。,。为积 的形 4e o s(a+p)+Zxe os(a+p)e o s、 a一日)+2ysin(a +日)e o s(a一日)=xZe o sZa。Zp一c 。 。“(a+日)+y“sinZ“sinz日一sin“(a+p)+5in“(a一p)=xZcos“(a+p)一sinz(a一p)一eo s“(a+p)+y“sinZ(a+日)一5in“(a一p)一sin“(a+p)+5in“(a一p)=(z一x“一yZ)sinZ(a一
7、p)二右端。由以上两例知,熟悉“平方差”公式的结构并能在适当时机逆用它们,对解题是很有帮助的。式。解原 式“1一51: i“acos“a一sin“p一e os“一5in“p一eos么a(sinZa+e o s“a)(五)用公 式 证明一组 有用的恒 等式1例9.求证下列恒等式:e05“日一。05“。5in(a+p)sin(“ 一p).sinasino+“)5in(6 0“一 a)二_七51;,3a4“nJ O s一4n U 八曰八b内b才了、Z 、例5.化6sin一8。in旦2为积的形式。 e o s“c 0 3o+0)eos(6 00一a)=a2tga tg(600+a)tg(60“一a)二
8、tg3a.证左端=5ina(sin26o“一sinZa)S;一(号一11。)ajZn2 s气、 . 夕产任一,廿月恤 了、G 一, 白 解原式=ssinZl一51nZssin“竺e o sZ竺 22一Zsin:a艺3als 1 n=。( Za一nZ生(3sina一4sin3a)=44、!苦 Qr, 25(a+誉 )S(a一誉 )。.2 坦5in2=右端。的证法与类似。山、即得.利用的变形公式=Zsin( 四 )用公式 证明等式二些竺=tg(60。+ a)tg(6 0。一 a)证川tg。tg 42“tg66otg78o=1非常简便。劝A2夕矛. 、 、1 1仓1.1人 S、尸夕U例7.求证:eo
9、 s“(“+p)+eo s Z(“一p)一cosZae。sZp=1。证左端=co s“(a+日)+cos“(a一p)一e oSZ(a+p)一sin“(a一p)=C o,“(a一日)+sinZ(a一p)=1二右端。例8.求证:(xeo sZa+ysin佗a一1)(xe o sZp+ysinZp一1)一xe o s(a+p)+ysin(“+p)一e os(a一p)“=(l一xZ一yZ)51, 2(。一p).证左端=x“e osZ“e o sZ日+y“sinZasinZp+一x(c o oZ“+eosZp)一y(、i,iZa+sinZ日)+xy(51nZae o sZp+eo sZ“sinZp)一x
10、“e os“(a+p)一y“sinZ(a+p)一c。s“(a一p)一Zxysin(“+p)(六)用公式 求三角函数 式的 极值例10.设。与p变化时,其和为常数。求一sin解p的极大值与极小值设a+p=A(常 数),且假定a=A -一十U, ZlA 吸一十 公n一一q 尸e:l n一. sA一Zn a=. 5 1sin20A一2 n一0峨sinZG蕊1,., .当sin20=0!讨,A一2(sinasinp)极大 值当sin20=l时,A 二5 111一一丁事 艺(sinasinp)极 小值=5 1,1“32中等数学(八)用公式证明综合 题A,司SOCa 一+一刁丫 C 0 5、尸例11.在A
11、BC中,长:snA+:,。B+sinc的极值。例1:.已知一(。+丫一a2解A 一S ln几十Sln月斗5 111七=4CO SCO S 2C c ” s万。犷p一丫二竺、成等比数列。求证:乙JB 一2、口O1户了. 、 、n丫+a2S ln丫一a2Y+。2.Z、产 O口.一s i n (B-2又A C O SCO S 2/A+B. A一B =c051十) 441CO S(A十B4A一B4)也成等比数列。证由已知条件得:=e o sZA+B吕一5in艺A一B2e oSZY+任2而C05A一BSlf l 吧穿U,昌故当A=B时,=COS(。+丫一 a2)了。丫一 。、 C05Ip一I 艺I会一是
12、一最大。同理,当B=C和C=A时,c 。 s:立土竺二。s:2丫一 a_: _,Q _一。 二1 1一尸, 匕Y+aeos ZY一a2一5in艺p, 一一 一2_B_C,_C05CO污一一 刁钊 22l一5inZCA。,c “ 了c“万展人1一e osZ-兰二竺二5 In:一丫上竺22一51nZ日,由此可知,当A二B=C时,AB e0sC OS2夕CC O S一 2最大。sinZ止竺二竺 2_A 关c 05万B 二CO S一 2。s旦=。53 0。了32一云一=。i。f丫土竺十日、:i。(兰士空一日、_、艺”、艺/-.2、11 O尸 一ABC,3了3c O S厄“S厄“S万尧-石一,故S(Y+
13、G23inY一仓2(sinA+sinB+sinC) 最大值3了32丫+叹2十”)成等比数列。户l、,n(七)用公式证明定值问j题在证明例1 3的过程中,先后两次运用“平 方差”公式,证明过程十分简捷。例12.设“、p、丫为同时满足sina+sinp+sin丫o和。osa+。05日+。05丫二o的任意 三个 角。求例, 已知ABc中,S一鲁+S一鲁+3一普派一6 匕口Al n匕 口B一2 O一一证:eo s“a+e os“p+eos“丫为定值。c一2 n+ Ssin。 +sinpc o sa十e os日求证: 证_5 i ny-_e o sy,:g号成 等比数列2+2得2+Zeo s(a一日)=
14、i,证=e。 s:旦 2已知等式 可化为,一鲁一一鲁,2Co。(a一日)=., .e o s“a+e o sZp+e osz丫=eo s“a卜e os “日+(e o s“+e osp)“=2C o SZa+Zc o SZp,2。osae osp=2+2(co s 之a一sinZ日)二2。o saeosp=2+2eo s(a+p)eos(a一p)+ebs(。+日)+c os(a一日)1一cosB=。 s:主一,i。2旦 名2二COSA+C2C OSA一C2B2 n2 sA+C 二CO S勺 曰A一CC一十一2A一忍eosZC O S_q 月曰二2一c。“a+日)+C O S。+p,一合=普_,
15、人十C,二U、一飞,2,2人+C、CO S二一二甲t口.艺(定值).1983年 第三 期,33.故Ze osA+C2=COSA一C2C 2AC C 03e s.C O S一 乙S ln 艺艺S lnAZA一2二。 。s主。s旦+。in22sin旦.名CCOSC O S2=3511 1C S l n2A一2人一2又:00.由 式推出cos(A+故A十“0.得e o s(A一B)e os(A+B).从 推出sinZCe o s“(A+B),即S一c一雪一(A+B)飞、一4RZ eo s(A+B)sin( A一B)2R2(sinZ B一sinZA ).但C为锐角,由知A+B也是 锐角同理可得(b“一
16、e“)etgA=ZR“(sinZC一sinZ B),变一( A十B)也是 锐角。从推出5fnc)sC少龙_9西一(干“,过E作BC的垂线,交AC于F,交B人的延长线于G,并 且E F二F( ;.求证ECZ=3(A CZ一ABZ)_(A+B)证由t s B不器,有GE一譬口即A十B十C少 由,。c二器,郁FBCtgC.沉一2 2由和 得,兀_j。,3泥 了夭几十b十、久.名住又由G E二ZE F,tgB=ZtgC,g“八 刀亡(十一)用公式解三角方程仅口s吵CoSBZsinCeo sC5inBeosC=Zeo sBsinC,例19.解方程:eos:x+e os“3x二Zcos“Zx.解原方程 可化为eos
