《考研线性代数笔记精华线性方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研线性代数笔记精华线性方程组（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线代框架之线性方程组1.线性方程组的形式：线性方程组的矩阵式 ，其中Ax1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb 向量式 ，其中1122nnxxx12,2,jj jmjjn 112 12(,)nnx xx 2.齐次线性方程组齐次线性方程组一定有零解，一定有零解，有非零解有非零解0Ax 0Ax ( )Ar An的列向量线性相关推论 1：当 mn（即方程的个数未知数的个数）时，齐次线性方程组必有非零解。推论 2：当 m=n，齐次线性方程组有非零解的充要条件是|A| 0注：注：（其中（其中 n 为未知数的个数）一个齐次线性方程组的基础解系不唯一为未知数的个
2、数）一个齐次线性方程组的基础解系不唯一3.非齐次线性方程组解的判定：注：（导出组有非零解=有解）AxAx有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解 非齐次有解非齐次有解可由A的列向量线性表出注意：注意：n 个未知数个未知数 n 个线性方程的线性方程组可用克拉默法则判断解的存在情况：系数行列式个线性方程的线性方程组可用克拉默法则判断解的存在情况：系数行列式 D0 则有解且解唯一。则有解且解唯一。 （若无解或有两个不同解则（若无解或有两个不同解则 D=0）4.线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0, (2)0, (3),0, ,(4),0, (5),0 (6kkkk
3、Ax Axk k AxkAxAxAx AxAx 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解2112121122),0 (7),0,kkAxAx AxAx 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解，是的基础解系 则方程组的通解是5线性方程组经初等变换化为阶梯形方程后，每个方程中的第一个未知量通常称为主变量，其余的未知量称为自有变量如何确定自有变量并赋值：（1）对系数举矩阵作初等行变换化为阶梯形（2）由 R（A）确定自有变量的个数 n-R（A）（3）找出一个秩为 R（A）的矩阵，则其余的 n-R（A）列对应的就是自由
4、变量（4）每次给一个自由变量赋值为 1，其余的自由变量赋值为 0（注意：共需赋值 n-R（A）次）注：只有知道 R（A） ，才能知道基础解系或通解的结构。非齐次线性方程组的求解方法：（1）对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形（2）求导出组的一个基础解系（3）求方程组的一个特解（为简捷，可令自由变量全为 0）（4）按解的结构写出通解注:当方程组中含有参数时，分情况讨论要严谨，不要丢情况，此时的特解往往比较繁琐。6.齐次方程组与同解（列向量个数相同）矩阵与的行向量组等价（左乘可逆矩阵）R(A)=R(B)R(A)=R(B)0Ax 0Bx ,A Bm nAl nBPABP设为矩阵,若,一定有解，Am n( )r Am( )()r Ar AAx当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关. 是的上限.mn方程个数未知数的个数 向量维数向量个数m( )()r Ar A和
