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1、等差数列的前 n 项和与等比数列1、等差数列前 n 项和 Sn的表示形式： 可见： （1）当 d0 时，Sn是关于序号 n 的二次函数，且二次函数的常数项 c=0，其公差 d=2a（二次项系数的二倍），点（n，Sn）分布在过原点，对称轴垂直于 x 轴的抛物线上. （2）， 数列为等差数列且公差 d=a，点均匀分布在直线 y=axb 上.2、当 n 为奇数时，Sn=na中 （a中 为前 n 项中的中间项）， S奇S偶=a中（S奇为前 n 项中所有奇数项的和）， . 当 n 为偶数时，为中间两项）， 3、等比数列的定义可用递推公式表示为：（nN*，q 为常数）. 可见： （1）等比数列中每一项不为
2、零（即 an0）. （2）等比数列公比 q0. （3）非零常数列既是等差数列，又是等比数列，其公差 d=0，公比 q=1. 4、等比数列通项公式：an=a1qn1. 5、等比中项：若 a、G、b 为等比数列，则 G 为 a、b 的等比中项. 可见： （1）G 为 a、b 的等比中项（G0）. （2）仅当 a、b 同号时，才存在等比中项. （3）等比中项 G 不唯一，即. （4）G2=ab 是 a、G、b 成等比数列的必要条件，并不是充分条件. 6、等比数列的相关结论 （1）任两项之间的关系：am=anqmn. （2）相邻三项之间的关系：an1an1=an2. （3）若 q1，则. 难点知识剖析
3、难点知识剖析 1、等差数列前 n 项和 Sn是关于 n 的二次函数（d0），而且常数项为零，这是等差数列前 n 项和公式的形式特征，我们可以根据这个特征，判断不可能是等差数列的前 n 项和，利用 Sn=an2bn 有时可使计算 更简便. 2、在解决等差数列、等比数列有关问题时，涉及的五个量 an，n，d，a1，Sn通过方程组知三可求二. 3、前 n 项和 Sn与通项 an的关系是：Sn=a1a2an 由 Sn求 an一定要讨论 n=1，然后进行综合. 例例 1 1 、在等差数列 an中， （1）已知 a15=33，a45=153，求 a61； （2）已知 S8=48，S12=168，求 S4；
4、 （3）已知 a1a4a8a12a15=2，求 S15； （4）已知 S7=42，Sn=510，an3=45，求 n. 例例 2 2 、已知数列 an的前 n 项和，求数列|an|的前 n 项和 Sn. 例例 3 3 、设数列 an的首项 a1=1，前 n 项之和 Sn满足关系式：3tSn(2t3)Sn1=3t（t0，n=2，3，4） （1）求证：数列an为等比数列； （2）设数列an的公比为 f(t)，作数列bn，使（n=2，3，4，），求 bn. （3）求和：b1b2b2b3b3b4(1)n1bnbn1. 例例 4 4、 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么 24
5、 分钟可注满水池，如果开始时，全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的 5 倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？ 例例 5 5 、在 XOY 平面上有一个点列 P1（a1，b1），P2（a2，b2），Pn（an，bn），对每个自然数 n，点 Pn位于函数y=2000（0a10）的图象上，且点 Pn，点（n，0）与点（n1，0）构成一个以 Pn为顶点的等腰三角形. （1）求点 Pn的纵坐标 bn的表达式； （2）若对每个自然数 n，以 bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求 a 的取值范围； （3）设 Bn=b1b2bn（n N N* * ）.若 a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列Bn的最大项的项数.
