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1、第十二章1第第8章章._0224:031020123:. 1的位置关系的位置关系与与=+ =+=+zyxzyxzyxLC.;.);(. 直线在平面上直线在平面上垂直垂直不垂直不垂直相交相交平行；平行； DCBA复习全部概念复习全部概念第十二章21 求的定义域求的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf=解解 013222yxyx+22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD+=第第9章章_),(,),(2=+=+yxfyxyyxyxf则则 22xyx 2.第十二章3._|11=yxyz1xxyz)1( +=3.(1).已知已知，则，则1_)1 ,
2、 0(),arcsin(),(=xfxyyxf则则(2).已知已知._,cos,sin),arctan(. 4=dtdztytxxyz则则ttt22cossin12cos +第十二章45(1). 在点在点 (1,2) 处的全微分处的全微分. 22ln)2(yxz+=yxzd52d51d)2, 1(+=._)1 , 1(1处的全微分处的全微分在在=xy ez.dydx +(3). 的全微分的全微分. zyeyxu+=2sin解解:=ud+xd1yyd) cos(221+zeyzyd+zyez第十二章5._),(32)32sin(2)1(.6=+=+=+yz xzyxzzzyxzyx求求确定确定设
3、设1.,),()3(yz xzyxfzxyzez =求求所确定所确定., 022)4(yz xzxyzzyx =+求求.,),(ln)2(yz xzyxfzyz zx =求求确定确定设设=zx FF xz=zy FFyz,zxz +.)(2zxyz +第十二章6(5) 设设04222=+zzyx，求，求22xz . 解 令解 令,4),(222zzyxzyxF+=则则,2xFx=, 42 =zFz,2zx FF xzzx =两边对两边对 x 求偏导求偏导)2(22zx xxz =2)2()2(zxzxz+ =322)2()2( zxz +=第十二章7),(yyxfu =),(tsf._=du7
4、(1).设函数设函数,其中其中一阶偏导数，则一阶偏导数，则具有连续的具有连续的11fydx2 f +12fyxdy._),()()()().2(=yzyxzxyxzzxyzfdttfxfzxy，则，则确定确定可微，方程可微，方程设设0._),(),(,),().3(22=+=+yyxf xyxfyxyxyxf则则yx +第十二章8(4). 设设f( x , y)具有连续偏导数具有连续偏导数, 0),(=zy zxf .,yxzz求求已知方程已知方程=zx FF xz解解),(),(zy zxfzyxF=令令=zy FFyz212 fyfxfz +=211 fyfxfz +=zf1 1 1f)(
5、2zx +2f)(2zyzf1 2 )()(2221zyfzxf + ,则则第十二章9(6). 已知已知)(zy zx=， 可微函数，求可微函数，求 .yzyxzx+z=(7).),(),2(),(2yxzfgyxfxyxgz+=，求，求具有二阶连续导数具有二阶连续导数具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设222122 2gxyggxfyxz + + =:)()5(2xyfxz =+=)(2xyfxz)(2xyfxf=fxy2)(22xy第十二章10.),().8(dufxyzxyxfu可微，求可微，求=解将三个中间变量按顺序编号为解将三个中间变量按顺序编号为1,2,3，则，则dzzudyy
6、udxxudu+=dxfyzfyf)(321+=dyfxzfx)(32+dzfxy3+第十二章11多元 关系多元 关系:偏导数存在偏导数存在可微可微偏导数连续偏导数连续连续连续第十二章12),(yxfz =),(yxyz xz ,8(1)在点在点该点的偏导数该点的偏导数(A) 充分条件充分条件 .(B) 充要条件充要条件 . (C) 必要条件必要条件 .(D) 不是充分条件也不是必要条件不是充分条件也不是必要条件 . 存在的存在的 可微分是在可微分是在),(yxfz =),(yxyz xz ,),(yxfz =(2)在点的偏导数在点的偏导数存在是存在是(A) 充分条件充分条件 . (B) 充要
7、条件充要条件 . (C) 必要条件必要条件 .(D) 不是充分条件也不是必要条件不是充分条件也不是必要条件 . 在该点可微的在该点可微的 CA(3),(yxfz =（A）有定义（）有定义（B）极限存在（）极限存在（C）连续（）连续（D）可微）可微在点在点(x,y)处偏导数存在的必要条件是处偏导数存在的必要条件是它在点它在点(x,y)处处( )。A第十二章13=),(zyxF53222+zyx)1 , 1 , 1(),(| ,=zyxZyxFFFn2 , 2 , 6=53=+zyx1131=zyx切平面方程：切平面方程：法线方程：法线方程：解：设解：设53222=+zyx9(1).求椭求椭球球面
8、面的切平面的切平面及及法线方程分法线方程分别别为为_.在点在点(1，1，1)处处._._)1 , 1 , 1 (.(2)32法平面方程为法平面方程为的切线方程为的切线方程为在点在点曲曲线线 =tztytx31 21 11=zyx632=+zyx第十二章143 , 0 , 1._)0 , 0(,0 , 0(0),(1)0 , 0(3)0 ,0()0 , 0(),().3(的切向量为的切向量为在点在点，则曲线，则曲线，附近有定义，且附近有定义，且在在设设fyyxfzffyxfyx =._, 1343)1 , 1 , 1(23).4(2=+=+baazyxbazyx则则方程为方程为点的切平面点的切平
9、面在在要使曲面要使曲面 3).(031).5( 切平面方程是切平面方程是的的上平行于平面上平行于平面曲面曲面=+=zyxxyz. 0.; 1.;2.3.=+=+=+=+zyxDzyxCzyxBzyxA；A第十二章15122+=yxz(6). 旋转抛物面旋转抛物面 的切平面为的切平面为_.在点在点( 2，1，4)处处 0624=+zyxxmzmxy=22,2),(000zyx21, 100zym(7)曲曲线线在点在点处的切处的切向向量为量为=bzayax sincos )0, 0,(a(8)、求求螺旋螺旋线线在点在点处的切线处的切线及及法平面方程法平面方程. =.,azbyax 0=+ bzay
10、第十二章16(9)求求3=+xyzez在点在点(2 , 1 , 0) 处的切平面处的切平面.解解:3),(+=xyzezyxFz所以曲面在点所以曲面在点 (2 , 1 , 0) 处切平面方程为处切平面方程为)2( 1x042=+yx即即法线方程法线方程012=zyx)1(2+y0)0(0=+z120令令)0, 1,2()0, 1,2(),(zyxFFFn=)0,2,1(= )0, 1,2(),(y=x1ze即即=021 12zyx第十二章17上求一点上求一点 , 使该点处的法线垂直于使该点处的法线垂直于(10). 在曲面在曲面yxz =,093=+zyx并写出该法线方程并写出该法线方程 .提示
11、提示: 设所求点为设所求点为, ),(000zyx则法线方程为则法线方程为000zzyyxx=利用利用11 3100=xy得得3,1,3000=zyx平面平面0y0x1000yxz =法线垂直法线垂直于于平面平面点在点在曲曲面上面上13 31 13=+=+zyx故故法线方程法线方程第十二章18),(yxf),(00yx,),(00Ayxfxx=,),(00Byxfxy=Cyxfyy=),(00),(yxf),(00yx 0, 02AACB0, 02+=aaaaaDdrrddrrdDdrrdCdrrdBdrrdAdxdyxyayayxyx；则则、D第十二章28Dyxde22 1:22+ yxD2
12、 01 02dredr201 024 dredr201 022 rdredr2 01 02rdredr将（其中将（其中系系下下的二的二次积次积分，其分，其形式形式为为 (B) (C) (D) D）化化为极为极坐标坐标(A) 第十二章29+=20322)()1(xxdyyxfdxI=sec2034)(drrrfdI xyxxDyx320:),( sec2034:),( rDr解解xy =xy3=0 2 xyD化为极坐标形式的二重积分化为极坐标形式的二重积分第十二章304. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序._),()3(10=eeydxyxfdyexdyyxfdx 1ln0),(=21222 )
13、,()2(xxxdyyxfdx+101122 ),(yydxyxfdy._),(),()1(214121 410=+yyydxyxfdydxyxfdydyyxfdxxx2),(210第十二章31.1:,).1(522所所围围和和锥锥面面=+=zyxzzdydxzd 41=提示提示：=11 02 0zdzddzdydxzd.34:,).2(2222所所围围和和zyxyxzzdydxzd =+=413=提示提示： =22433 02 0zdzddzdydxzd第九章32(3). .1, 0:,2所围所围和抛物面和抛物面xyyyzzzdydxxzd=提示提示：=yDxzdzdxdyzdydxxzdxy0=y xxzdzdydx011 12=0第九章33(4). .1, 0:,)1(22所所围围+=+yxzzvdx 提示提示： +=+0122)1()1( yx Ddzxdxdyzdydxdxxy +=xyDdxdyyxx)1)(1(22+=xyDdxdyyx)1(22drrd=102203=第九章34如图如图为由为由(5). 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22+xyx222=+0),0(, 0=yaazz所围所围解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下:cos202ddcos342 032 =acos2020 az 0及平面及平面2axyzo=2 0dazz 0dzzddd2=原
