《高中数学第三章基本初等函数（ⅰ）3.4函数的应用（ⅱ）教案新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章基本初等函数（ⅰ）3.4函数的应用（ⅱ）教案新人教b版必修1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.43.4 函数的应用（函数的应用（）整整体体设设计计教学分析 教材利用 3 个实例介绍了指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学 等领域中的广泛应用由于本节与社会生活经验有联系，建议学生课前了解相关生活的知 识 三维目标 掌握指数函数、对数函数和幂函数在实际中的应用，提高学生分析问题和解决问题的 能力，树立应用的意识 重点难点 教学重点：建立函数模型 教学难点：建立函数模型 课时安排 1 课时教教学学过过程程导入新课 思路 1.(事例导入) 一张纸的厚度大约为 0.01 cm，一块砖的厚度大约为 10 cm，请同学们计算将一张纸对 折 n 次的厚度和 n 块砖的厚度，列出函数
2、关系式，并计算 n20 时它们的厚度你的直觉 与结果一致吗？ 解：纸对折 n 次的厚度：f(n)0.012n(cm)，n 块砖的厚度：g(n)10n(cm)，f(20) 105 m，g(20)2 m. 也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解 思路 2.(直接导入) 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它 们的应用 推进新课 Error!Error!如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 x 千克，需要支付 y 元，把 y 表示为 x 的函数. 正方形的边长为 x，面积为 y，把 y 表示为 x 的函数. 某保护区有 1 单位面积的湿地，
3、由于保护区努力，湿地每年以 5%的增长率增长，经 过 x 年后湿地的面积为 y，把 y 表示为 x 的函数. 分别用表格、图象表示上述函数. 指出它们属于哪种函数模型. 讨论它们的单调性. 继续扩大 x 的取值范围，比较它们的增长差异. 另外还有哪种函数模型. 活动：活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬， 对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路 总价等于单价与数量的积2面积等于边长的平方 由特殊到一般，先求出经过 1 年、2 年、. 列表画出函数图象 引导学生回忆学过的函数模型 结合函数表格与图象讨论它们的单调性 让学生自己比较并体会 另外还有与对数函数
4、有关的函数模型 讨论结果：yx. yx2. y(15%)x， 如下表：x123456 yx123456 yx2149162536 y(15%)x1.051.101.161.221.281.34它们的图象分别为下图甲、乙、丙甲乙丙它们分别属于：ykxb(直线型)，yax2bxc(a0，抛物线型)， ykaxb(指数型) 从表格和图象得出它们都为增函数 在不同区间增长速度不同，随着 x 的增大 y(15%)x的增长速度越来越快，会远 远大于另外两个函数 另外还有与对数函数有关的函数模型，形如 ylogaxb，我们把它叫做对数型函3数 函数模型是应用最广泛的数学模型之一许多实际问题一旦认定是函数关系
5、就可以 通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决Error!例例 1 11995 年我国人口总数是 12 亿如果人口的自然年增长率控制在 1.25%，问哪一年 我国人口总数将超过 14 亿？ 解：设 x 年后人口总数为 14 亿依题意，得 12(10.012 5)x14，即(10.012 5)x.14 12两边取对数，得 xlg1.012 5lg14lg12，所以 x12.4.lg14lg12 lg1.012 5所以 13 年后，即 2008 年我国人口总数将超过 14 亿 点评：点评：增长率问题通常与指数函数有关.变式训练光线通过一块玻璃，其强度要损失 10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设
6、光线原来的强度 为 k，通过 x 块玻璃以后强度为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的 以下(lg30.477 1)1 3解：(1)光线经过 1 块玻璃后强度为(110%)k0.9k； 光线经过 2 块玻璃后强度为(110%)0.9k0.92k； 光线经过 3 块玻璃后强度为(110%)0.92k0.93k； 光线经过 x 块玻璃后强度为 0.9xk. y0.9xk(xN N)(2)由题意，知 0.9xk ，k 30.9x .两边取对数，xlg0.9lg .1 31 3lg0.90，x.lg13 lg0.910.4，xmin11.lg1
7、3 lg0.9lg3 12lg3通过 11 块玻璃以后，光线强度减弱到原来的 以下.1 3例例 2 2 有一种储蓄按复利计算利息，本金为 a 元，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式如果存入本金 1 000 元，每期利率 2.25%，试计 算 5 期后的本利和是多少(精确到 0.01 元)? 解：已知本金为 a 元： 1 期后的本利和为 y1aara(1r)； 2 期后的本利和为 y2a(1r)a(1r)ra(1r)2； 3 期后的本利和为 y3a(1r)3；4x 期后的本利和为 ya(1r)x. 将 a1 000(元)，r2.25%，x5 代入
8、上式得 y1 000(12.25%)51 0001.022 55. 由计算器算得 y1 117.68(元) 所以复利函数式为 ya(1r)x,5 期后的本利和为 1 117.68 元.变式训练某地现有森林面积为 1 000 hm2，每年增长 5%，经过 x(xN N)年，森林面积为 y hm2， 写出 x、y 间的函数关系式，并求出经过 5 年，森林的面积 解：y 与 x 之间的函数关系式为 y1 000(15%)x(xN N)， 经过 5 年，森林的面积为 1 000(15%)51 276.28(hm2).例例 3 3 一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%衰减： (1)求
9、 t 年后，这种放射性元素质量 的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(精确到 0.1) 解：(1)最初的质量为 500 g， 经过 1 年，500(110%)5000.91， 经过 2 年，5000.92， 由此推知，t 年后，5000.9t. (2)解方程 5000.9t250. 09t0.5， lg0.9tlg0.5， tlg0.9lg0.5，t6.6.lg0.5 lg0.9所以这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年.变式训练抽气机每次抽出容器内空气的 60%，要使容器内的空气少于原来的 0.1%，则至少要抽( ) A6 次 B7 次 C8 次 D9 次解析：解析
10、：设至少要抽 x 次，则(160%)x.0.1 100解得 x7，即最少要抽 8 次 答案：答案：CError!1某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高cm60708090100110120130140150160170体重kg6.137.909.9912.1 515.0 217.5 020.9 226.8 631.1 138.8 547.2 555.0 5(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区5未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式 (2)若体重超过相同身高男性体重的 1.2 倍为偏胖，低于 0.
11、8 倍为偏瘦，那么这个地区 一名身高为 175 cm，体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正常？ 活动：活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导： 根据表中的数据画出散点图观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线根据 这些点的分布情况，可以考虑用 yabx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体 重 y kg 与身高 x cm 的函数关系 解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(下图甲)根据点的分布特征， 可以考虑用 yabx作为刻画这个地区未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 关系的函数模 型 如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.
12、25)， 代入 yabx，得Error! 用计算器算得 a2，b1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y21.02x. 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象(下图乙)，可以发现，这个 函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与 身高的关系 (2)将 x175 代入 y21.02x，得 y21.02175， 由计算器算得 y63.98. 由于 7863.981.221.2，所以这个男生偏胖甲 乙 2在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一 年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代假设一个理想种群，
13、其 每个个体产生 2 个后代，又假定种群开始时有 10 个个体，到第二代时，种群个体将上升为 20 个，以后每代增加 1 倍，依次为 40,80,160，试写出计算过程，归纳种群增长模型， 说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡 活动：活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结 解：设 Nt表示 t 世代种群的大小，Nt1表示 t1 世代种群的大小， 则 N010；N110220；N220240；N340280；N4802160；. 由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：Nt1R0Nt，其中 R0为世 代净繁殖率 如果种群的 R0速率年复一年地增长，则 N1R0N
14、0， N2R0N1R02N0， N3R0N2R N0，3 0 NtR N0.t 0R0是种群离散增长模型的重要参数，如果 R01，种群上升；R01，种群稳定； 0R01，种群下降；R00，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡Error!某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如下图所示)假设其关系为指6数函数，并给出下列说法：此指数函数的底数为 2； 在第 5 个月时，野生水葫芦的面积就会超过 30 m2； 野生水葫芦从 4 m2蔓延到 12 m2只需 1.5 个月； 设野生水葫芦蔓延到 2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为 t1、t2、t3，则有 t1t2t3； 野生水葫芦在第 1
15、 到第 3 个月之间蔓延的平均速度等于在第 2 到第 4 个月之间蔓延 的平均速度 哪些说法是正确的？ 解：说法正确 关系为指数函数，可设 yax(a0 且 a1)由图知 2a1. a2，即底数为 2. 253230，说法正确 指数函数增加速度越来越快，说法不正确 t11，t2log23，t3log26，说法正确 指数函数增加速度越来越快，说法不正确Error!活动：活动：学生先思考或讨论，再回答教师提示、点拨，及时评价 引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结 小结：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题Error!课本习题 34 A 2、3、4.设设计计感感想想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学 习兴趣课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异； 我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选 用的素材其中拓展提升中的问
