矩阵理论讲义第四章内积空间

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1、Graduate Engineering Mathematics 工科研究生数学工科研究生数学 -矩阵论矩阵论第第 4 章章内积空间内积空间王新赠王新赠山东科技大学信息学院山东科技大学信息学院 G G E ME M 4.1 实内积空间实内积空间定义定义. .设设V 是一个实线性空间，是一个实线性空间，R为实数域，为实数域， 2 若若 a a, , b b V, 存在唯一的存在唯一的 r R与之对应，与之对应，记作记作(a a, , b b ) = r, 并且满足并且满足 (1) (a a, , b b ) = (b b, , a a ) (2) (a a + +b b, , g

2、g ) = (a a, , g g ) + (b b, , g g ) (3) (ka a, , b b ) = k(a a, , b b ) (4) (a a, , a a )0, (a a, , a a ) = 0 a a = 0 则称则称 (a a, , b b ) 为为a a 与与b b 的内积，的内积，V 为为实实内积空间。内积空间。实实内积空间也称欧几里得内积空间也称欧几里得( (Euclid) )空间。空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性 G G E ME M 3 定义内积定义内积( (内积的离散形式内积的离散形式) ) b ba ab ba aT 2211),(

3、+ + + + nnyxyxyx,),(T 21nxxx a aT 21),(nyyy b b,|),(TRxxxxxxRnnn 2121例例. 线性线性空间空间称为称为内积内积空间空间的标准内积的标准内积。 nRG G E ME M 4 定义内积（定义内积（内积一般形式）内积一般形式） b ba ab ba aAT),( ,),(T 21nxxx a aT 21),(nxxx b bA为为 n 阶阶实正定矩阵实正定矩阵， ,|),(TRxxxxxxRnnn 2121例例. 线性线性空间空间 nRG G E ME M 5 定义内积（内积的连续形式）定义内积（内积的连续形式） aadxxg

4、xfgf)()(),(例例. 线性线性空间空间Ca, b，f , gCa, b G G E ME M 6 由定义知（关于第二个元素的线性性质）由定义知（关于第二个元素的线性性质） (5) (a a , , b b + +g g ) = (a a, , b b ) + (a a, , g g ) (6) (a a, , kb b ) = k(a a, , b b ) G G E ME M 向量长度向量长度, Cauchy-Schwarz不等式不等式 ),(a aa a定义定义. 设设V 为为实实内积空间，称内积空间，称为向量为向量a a 的长度，的长度，记作记作 | |a a | |。定理

6、|( ,)|=0=0,0+,+,+( ,)2 ( ,)( , )0=(2( ,)4( ,)( , )0( ,rrrrrra babbaa bbab ab abb ba ba aa bb b a aa b+证明：当（或），不等式显然成立，事实上此时成立等号，线性相关。当时，令其中是一个实数()=()=即2)( ,)( , )|( ,)|+,rb b a aa bababa b，也就是。等号成立当且仅当，即线性相关。G G E ME M 2222(4) |(,)( , )2( ,)( ,)|2|(|) | |abab aba aa bb baabbab abab+ +,。G G E ME M 1

7、1 niiniiniiiyxyx12121)1(例：利用例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明不等式证明 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()()2(22G G E ME M 向量的夹角向量的夹角由由Cauchy-Schwaz不等式可知不等式可知 ,1|),(1baba可用可用，中的结论中的结论对比对比nR|),(,cosbababa.,b ba ab ba a在内积空间中的夹角在内积空间中的夹角与与定义定义G G E ME M 向量的正交向量的正交定义定义. 设设V 是是实实内积空间，内积空间，a a , , b b V , 若若 ( (a a , , b b )

8、 0 0 , 则称则称 a a 与与b b 正交，记作正交，记作 a a b b 。 ),(|2b ba ab ba ab ba a+ + + + +由由知知22|),( 2|b bb ba aa a+ + + a a 与与b b 正交正交 222|b ba ab ba a+ + + +这就是实这就是实内积空间中的勾股定理。内积空间中的勾股定理。 G G E ME M 12121. |ssaaaaaa+122222 12122. ,|sssa aaaaaaaa+正交G G E ME M 15 向量向量a a 与与b b 在该基下的坐标为在该基下的坐标为的一个基，的一个基，维实内积空间维实内积

9、空间是是，设设Vnna aa aa a,21,),(T 21nxxxx T 21),(nxxxy ,2211nnxxxa aa aa aa a+ + + + nnyyya aa aa ab b+ + + + 2211G G E ME M 16 ),(),(22112211nnnnyyyxxxa aa aa aa aa aa ab ba a+ + + + + + + ninjjiiiyx11),(a aa a nnnnnnnnyyyxxx 2121222121211121),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a

10、a aa aa aa aa aa aa aAyxT G G E ME M 度量矩阵度量矩阵矩阵矩阵 A 称为基的度量矩阵。称为基的度量矩阵。 AAT ),(),(1221a aa aa aa a ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnAa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a即即 A 为实对称矩阵。为实对称矩阵。 0),( a aa aAxxT即即 A 为为实正定矩阵实正定矩阵。 G G E ME M ,;,2121nnb bb bb ba aa aa a定理：设内积空间定

11、理：设内积空间V 的两个基是：的两个基是： BAPPT 它们的度量矩阵它们的度量矩阵分别分别为为A与与B，则，则A与与B是合同的，是合同的，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P ，使得，使得其中可逆矩阵其中可逆矩阵P 是由前组基到后组基的过渡矩阵。是由前组基到后组基的过渡矩阵。 G G E ME M 4.2 标准正交基标准正交基 12,sVa aa定义：设，，是实内积空间的一组非零向量，若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。定理：正交向量组必是线性无关的。的一个正交向量组，的一个正交向量组，维内积空间维内积空间是

12、是，若若Vnna aa aa a,21的一个正交基。的一个正交基。则称其为则称其为VG G E ME M 20 12,nVa aa定义：设，，是实内积空间的一正交基，的一个标准正交基。的一个标准正交基。则称其为则称其为 V且其中每个向量的长度都是且其中每个向量的长度都是 1，注意：注意：(1) 标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即 (2) 向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即基向量上的正投影，即 ),(),(2211inniixxxxa aa aa aa aa aa a+ + + + yx

13、T ),(b ba aG G E ME M Gram-Schmidt 正交化过程正交化过程 Gram-Schmidt 正交化过程：正交化过程：设设是内积空间是内积空间V 中线性无关中线性无关的向量组的向量组， na aa aa a,21，使得，使得则则V 中存在正交向量组中存在正交向量组 nb bb bb b,21 nnb bb bb ba aa aa a,2121G G E ME M Gram-Schmidt 正交化过程正交化过程图解图解 2 22 2|a aaaaaa a 121 2 121(,)|b abb aba ababbab 12 1 11(,) (,)b ab ab bbbbb 11a ab b 222a aa ab b 1b b 2b b 2a a2a a 1 1121 22),(),(b bb bb ba ab ba ab b 222a aa aa a + + 2a a 1a a上的投影向量上的投影向量在在12a aa aG G E ME M 23 令令 1112 221 11121 121 112211;(,);(,)(,)(,)(,) (,)(,)(,)rrrr rrr rrbabab ab ababbabbbb

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矩阵理论讲义第四章 内积空间

矩阵理论讲义第四章内积空间