《线性代数§16》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数§16（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式,312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa + + += =333231232221131211aaaaaaaaa引例引例, 考察三阶行列式考察三阶行列式( () )3223332211aaaaa = =( () )3321312312aaaaa + + ( () )3122322113aaaaa + +.32312221 13 33312321 12 33322322 11aaaaaaaaaaaaaaa+=在在 n 阶行列式阶行列式D
2、中中, 把元素把元素 aij所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列元素划去后列元素划去后, 留下来的留下来的 n1 阶行列式叫做阶行列式叫做(行列式行列式D 的关于的关于)元素元素aij的的余子式余子式, 记作记作 Mij. 即即nnnjnjnjnnnijijijiiiinijijijiinijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD?1121111111121111211111111121121221222211111111211+= =nnnjnjnnnijijiiinijijiiinjjnjjijaaaaaaaaaaaa
3、aaaaaaaaaaaaaM?1121111111211111111211212122221111111211+= =例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD = =,44424134323114121123 aaaaaaaaa M= =()()2332 231MA+ += =.23M = =记记 Aij= (1)i+j Mij, 称称 Aij为元素为元素 aij的的代数余子式代数余子式.,44434134333124232112 aaaaaaaaa M= =()()1221 121MA+ += =.12M = =,333231
4、23222113121144 aaaaaaaaa M= =()().1444444 44MMA=+ +引理引理: 如果一个如果一个n阶行列式阶行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 aij外 都为零外 都为零, 那么行列式那么行列式 D 等于等于 aij与它的代数余子式与它的代数余子式 Aij 的乘积的乘积, 即即 D = aijAij.行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余 子式和唯一的一个代数余子式行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余 子式和唯一的一个代数余子式.nnnjnjnjnnnijijijiiiijnijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
5、aaaaaaaaaaaaD?11211111111211111111112112122122221111111121100000+= = aijAij.证证: 当当 aij位于第一行第一列时位于第一行第一列时,nnnnnaaaaaaaD?21222211100=再证一般情形=再证一般情形, 此时由上节教材中的例此时由上节教材中的例10得得: D = a11M11.从而从而 D = a11A11, 即结论成立即结论成立.又由于又由于 A11=(1)1+1M11=M11, nnnjnijnjaaaaaaaD?1111100= =ija()()nnnjnnijiiijiaaaaaaaD?1, 1,
6、11 , 1 1001 =把=把D的第的第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行,第第 i 2行行, , 第第1行 交换行 交换, 得把得把D的第的第 j 列依次与第列依次与第 j 1列列, 第第 j 2列列, , 第第1列 交换列 交换, 得得()()()()nnjnnjnijijiijjiaaaaaaD?1, 11, 1, 1 1111=ija?00ijaa()()nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa?1, 11, 1, 1 2001+= =()()nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa?1, 11, 1, 1001+= =(1)i+j aijM 11,ija显然显然,
7、M 11恰好是恰好是aij在在D中的余子式中的余子式Mij, 即即M 11=Mij,因此因此, D = (1)i+jaijMij= aijAij, 故引理结论成立故引理结论成立.ija定理定理3: n阶行列式等于它的任一行阶行列式等于它的任一行(列列)的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和, 即即 D = ai1Ai1 + ai2Ai2+ + ainAin( i =1, 2, , n); D = a1iA1i+ a2iA2i+ + aniAni( i =1, 2, , n). 证证:nnnniniinaaaaaaaaaD?212111211000000+=
8、+=二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则nnnninaaaaaaa?2111121100= =nnnninaaaaaaa?2121121100+ +nnnninnaaaaaaa?211121100+D = ai1Ai1 + ai2Ai2+ + ainAin( i =1, 2, , n).由引理得由引理得:引理的结论常用如下表达式引理的结论常用如下表达式: = = =nkkikinkikikAaAaD 11( i =1, 2, , n). 277010353 = =D解解: 按第一行展开按第一行展开, 得得27013 = =D.27= =27005+ +77103 + +如果按第
9、二行展开如果按第二行展开, 得得例例1: 计算行列式计算行列式2733)1)(1(22 =+ +D.27= =.3351110243152113 = =D03550100131111115 ( () )312 cc + +34cc + +例例2: 计算行列式计算行列式解解: D0551111115 )1(33 = =+ + 055026115 5526)1(31=+ +5028 = =.40= =12rr+ + = 1112112222121 ).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxx D?例例3:证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式证证:用数学归纳法
10、用数学归纳法)1(21211 xxD = =12xx = =, )( 12 = = jijixx所以所以, 当当 n=2 时时, (1)式成立式成立.假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, (1)式成立式成立. 对对 n 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, 作如下变换作如下变换, rix1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得得)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Dnnnnnnnnn = =?按第一列展开按第一列展开, 并把每列的公因子并把每列的公因子( xi
11、x1 )提出提出, 就就 有有:2232232 11312111)()(=nnnnn nnxxxxxxxxxxxxD?n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式)()()( 211312j jininnxxxxxxxxD = = ?).( 1j jinixx = = 则根据归纳假设得证则根据归纳假设得证:0532004140013202527102135 = =D0532004140013202527102135 = =D例例4:计算行列式计算行列式解解:()()53204140132021352152 = =+ +660270132 10 = = 532414132 52 =()()6627210
12、 =( () ).1080124220 = = = =推论推论:行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即即 ai1Aj1 + ai2Aj2+ + ainAjn= 0, i j ; a1iA1j+ a2iA2j+ + aniAnj= 0, i j .,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAaD?=+=+=证证: 把行列式把行列式D = det(aij) 按第按第 j 行展开行展开, 得得把把 ajk换成换成 aik(k=1, 2, , n ), 当当 i
13、j 时时, 可得可得,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa?=+=+第第 j 行行第第 i 行行 相同相同同理同理 a1iA1j+ a2iA2j+ + aniAnj= 0, i j 所以所以, ai1Aj1 + ai2Aj2+ + ainAjn= 0, i j 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质;01 = = = =jijiDDAaijnkjkik当当 当当 .01 = = = =jijiDDAaijnkkjki当当 当当 .01 = = =jiji ij当当 当当 其中其中1. 行列式按行行列式按行(列列)展开法则是把高阶行列式的计 算化为低阶行列式计算的重要工具展开法则是把高阶行列式的计 算化为低阶行列式计算的重要工具. ijnkjkiknkkjkiDAaAa = = = =11三、小结三、小结2.思考题思考题nnDn?00103010021321=求第一行各元素的代数余子式之和=求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ +A1n .设设 n 阶行列式阶行列式思考题解答思考题解答 解解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可
