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1、 1生产函数的相关性分析 北京大学经济学院 张 延 生产者行为理论是研究厂商如何通过投入与产出、成本与收益之间的选择，实现自身利润最大化的过程。生产者行为理论的目的，是从理论上说明决定供给方主要因素的生产者行为是导致供给曲线单调上升的原因。生产者行为理论的研究必须具有这样两个步骤，第一，研究厂商如何决定投入与产出的关系，这是生产中的技术问题，集中在生产论中研究。第二，研究投入的成本与产出的收益之间的关系，产出的收益涉及到不同的市场类型，市场类型的不同导致产出收益的不同。这些问题构成了成本论和市场类型理论的主要内容。生产过程中生产要素的投入量和产品的产出量之间的关系，可以用生产函数来表示。可见，
2、对生产函数的研究是生产者行为理论的首要问题，它是生产论、成本论、市场类型理论的基础。 生产函数表示在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系，生产函数按生产者能否变动全部要素投入为标准划分为短期生产函数和长期生产函数。短期指厂商来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的情况，通常认为劳动要素的数量在短期是可变的，资本要素的数量在短期不变。长期指生产者可以调整全部生产要素数量的情况。本文旨在对短期和长期生产函数进行研究，以揭示两者之间内在的联系。 一、短期生产函数的性质 短期生产函数表示总产量 q 是一种可变要素投
3、入数量 x1 的函数，可以写成： q = f ( x1 ) 短期生产函数是连续的，具有连续的一阶和二阶导数。决定短期生产函数单调性的是生产函数的一阶导fdq dx1 1=，即边际产量。f1从正到负的变化，表明短期生产函数先单调上升，达到极值点后，再单调下降的过程。对f1取范围并没有严格限2制。从方法论上看，微观经济学在运用数学工具研究人的行为时，就采用这种将人的行为简化为一个一元函数，再研究函数性质的方法。 短期生产函数二阶导fd q dx11212=的性质既决定短期生产函数是以递增还是以递减的速率上升（即生产函数的凹凸性），同时还决定短期生产函数一阶导的单调性。二阶导的性质是以边际报酬递减规
4、律来表述。西方经济学家指出，在生产中普遍存在这么一种现象：在技术水平不变的条件下，在连续地等量把某一种可变生产要素增加到其它一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时， 增加一单位该要素的投入量所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加一单位该要素的投入量所带来的边际产量是递减的。这就是边际报酬递减规律。 边际报酬递减规律的重要性在于决定了短期生产函数的性质，短期生产函数先以递增的速率上升（ OB 段），即凸向原点；经过拐点 B，再以递减的速率上升（ BC段），凹向原点。边际报酬递减规律的数学表述是： d q dx
5、212= f11 0 其中 fii是 fi对 xi的偏导数，也记为 22q xi, fij是 fi对 xj的二阶交叉偏导数之一，也记为 2qx xij。 可见从长期生产函数 f(x1, x2)的定义看，其二阶偏导数在 q- xi 空间内要满足 fii 时，厂商如何调整两种投入 x1,，x2 的数量以实现利润最大化？ f fr r1112 f rf r1122 f rii是厂商花在第 i种要素上的每一元钱所带来的边际产量，当f rf r1122时，厂商会增加对要素 x1 的投入，同时减少对x2的投入，随着 x1 投入量的增加，x1给厂商带来的报酬下降，即 x1的边际产量 f1递减，则 f1 r1
6、也递减，对 x1 的投入量持续到f rf r1122=时为止。可见，运用边际报酬递减规律说明了长期生产函数中厂商如何实现利润最大化的调整过程。边际报酬递减规律在说明利润最大化一阶条件的满足5方面，是必不可少的。 4 、对利润最大化二阶条件的证明 二阶条件要求，相关的海赛行列式的主子式在符号上交错： 221xpf11 0 (2) 条件(1)要求，利润必定随着无论是 x1 或 x2的进一步投入而下降。条件(2)保证，利润必定随着 x1 和 x2的都进一步投入而下降。由于 p0，所以，条件(1)要求，每种投入的 MP 都是递减的。 条件(1)和(2) 要求，如果存在一点，当 x1 ，x2 0 时满足
7、一阶条件，则在该点的邻域里，生产函数是严格凹的。解限定于非负数投入和产出水平的生产函数的严格凹区域。如果生产函数不存在这种区域，这种类型的完全竞争利润最大化解就不可能达到。从长期生产函数的定义可以看出， 利润最大化的二阶条件是完全满足的，且满足于二阶条件的点是一个唯一的最大化解。 三、总结 通过对短期和长期生产函数的研究可以看出： 1 . 一元函数论是二元函数论成立的前提条件。 如果将基数效用论视为一元函数论，序数效用论视为二元函数论，则消费行为理论中也贯穿从一元论到二元论的两条主线。生产理论中一元生产函数采用的边际产量分析和二元生产函数采用的等产量曲线分析，都遵循从一元函数论到二元函数论的逻
8、辑思路。 进一步分析发现，二元函数论乃至 n 元函数论建立在一元函数论成立的前提假定之上。基数效用论中边际效用递减规律是一元效用函数的重要性质，它是构成二6元效用函数性质的基础。从无差异曲线几何图形的推导到边际替代率递减规律的证明到消费者均衡的一阶条件的说明，无不运用边际效用递减规律，基数效用论得出的结论是序数效用论成立的前提条件。 同样，在生产者行为理论的分析中，边际报酬递减规律是一元生产函数的重要性质，它是构成长期二元生产函数的基础。从二元生产函数的性质、等产量曲线的推导到利润最大化二阶条件的证明，无不运用边际报酬递减规律。 2 . 经济学中的简化主义 假设演绎模型法。 在基数效用论中产生
9、了一种新的分析方法边际分析法。从数学上讲，边际量即是总量函数的一阶导，这与当时数学中微积分理论的发展成熟密切相关。这种用数学分析方法进行经济研究的方法论上的革命，是边际革命的重要成果，使经济学进入了一个新的时期。“边际效用概念不仅被看作经济工具箱的一种补充，并且还被看作是经济科学研究方法上的一项极重要的革新”。 这种革新起源于李嘉图方法论的影响。在古典经济学中，李嘉图方法论的特点是抛弃了斯密曾经采用的制度与历史分析方法，而单纯采用从前提假设出发，经演绎推理，得出某些结论的方法。李嘉图方法论的特点是以高度抽象的经济模型直接摸拟复杂现实世界中人的行为。李嘉图这种重视抽象理论模型的传统，经边际革命的
10、发扬光大，在马歇尔以后成为西方经济学方法论上的主流。微观经济学中的许多重要成果如消费者行为理论、生产者行为理论、一般均衡理论都是由此方法演绎而来。这种分析法在当代西方经济理论中也被称为“封闭式分析方法”。这种方法的优点在于便于精确地分析，把握各种经济变量之间的相互关系和运行规律，有利于经济学朝着精确、严密的方向发展。西方经济学发展到今天，并在其中大量运用数学工具的作法，虽始于边际革命，但追溯其根源是李嘉图方法论的影响，柯丁顿（ACoddington）将此方法称为“经济学中的简化主义”。其缺点也是不言而喻的，影响经济变量的一些制度的、历史的重要因素因此被抽象掉了、“简化”掉了。 3 . 公理与公
11、理之上的定理、定律。 假设演绎模型法的基础是西方经济学得以安身立命的公理，这包括三个最基本7前提假设：理性人假设、信息完全假设、市场出清假设。 在条件极值和无条件极值中求偏导的方法是理性人假设，或称最大化原则的数学表述。 拉格朗日函数中的限制条件以及无条件极值中的价格都是自由灵活变动的，自由灵活变动的价格是信息完全假设的体现。供求双方的相互作用通过价格机制来间接完成，最终价格使经济中对立的、变动的力量达到一种力量相当、相对静上、不再变动的境界，实现了所有市场参与者的最大化和供求相等的状态，即市场出清了。作为公理，这三个基本前提假设贯穿于微观经济学中消费者行为理论和生产者行为理论，要素需求理论和
12、要素供给理论的分析中，是微观经济学的基石。 在公理之上，显然还有各种各样的定理、定律存在，这体现在在条件极值和无条件极值中的目标函数上。具体地讲，不同的经济主体，最大化的目标不同。消费者的目标是实现效用最大化，厂商的目标是实现利润最大化。对效用函数的研究是消费者行为理论所要解决的首要问题，边际效用递减规律（或称戈森第一定律）集中概括了一元效用函数的性质，并在此基础之上构成二元效用函数的性质。边际效用递减规律是一条无法证明的主观、心理定律，消费者行为理论正是建立在这条主观心理定律成立的基础之上。 对生产函数的研究是生产者行为理论所要解决的首要问题，边际报酬递减规律集中概括了一元生产函数的性质，并
13、在此基础上构成二元生产函数的性质。由此可见，对微观经济学中最基本的前提假定，以及第二位的、次级的前提假设进行研究，在对前提假定进行金字塔式分级分层的基础上，研究建立在其上的理论，这项工作是具有极大意义的。 参考书目： 1. J.M.Henderson and R.E Quandt, “ Microeconomic Theory A Mathematical Approach”, McGraw Hill Book Co.(1985). 2. R.S.Pindyck and D.L.Rubinfeld, “ Microeconomics” Prentice - Hall, Inc (1995) 8
14、3. Mansfield: “ Microeconomics: Theory and Applications” , 7th Ed., Norton, New York, (1991). 4. Nicholson: “ Microeconomic Theory” , 5rd Ed., Dryden Press, New york, (1992). 5. Ferguson: “ Microcronomic Theory” , 3rd Ed., Irwin Inc., Homewood, Illinois,(1972). 6. 高鸿业、刘文忻等著：西方经济学上册 微观部分 中国经济出版社，1996年，第一版。 7. 张延：对西方经济学基本前提假设的研究。
