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1、南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式: 样本数据12,nx xxL的方差2211()ni isxxn , 其中11ni ixxn .一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上.1.已知集合2 , 1 , 0 , 1U, 1 , 1A, 则UA= .2.复数2(1 2 ) i的共轭复数是 3.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8, 9, 10, 10, 8, 则该组数据的方差为 . 4.袋中装有 2 个红球, 2 个白球, 除颜色外其余均相同
2、, 现从中任意 摸出 2 个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .5.在等差数列 na中, 若9753aaa, 则其前 9 项和9S的值为 6.设, x y满足约束条件0, 002063yxyxyx, 则目标函数23zxy的最大值为 7.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 .8.将函数sin(2)3yx 的图像向左平移0个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则的最小值为 . 9.现有如下命题：过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；过平面外一点有且 只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交 线平行；如果两个平面相互垂直,
3、那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直 线必在第一个平面内. 则所有真命题的序号是 10. 在ABC中, 若9cos24cos25AB, 则BC AC的值为 11.如图, 在等腰三角形ABC中, 底边2BC, DCAD , 1 2AEEBuuu ruu u r, 若1 2BD AC uuu r uuu r, 则ABCE = 12.已知1F、2F分别是椭圆14822 yx的左、右焦点, 点P是椭圆上的任意一点, 则121|PFPF PF的取值范围是 13.若x,y满足2 2 221log 4cos ()lnln4cos ()22yexyyxy , 则cos4yx的值为 14.已知函数21
4、 (1) ,02,( ) (2),2xxf x f xx , 若关于x的方程( )f xkx(0)k 有且仅有四个根, 其最大根为, 则函数225( )6724g ttt 的值域为 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分)在直三棱柱111CBAABC 中, ABBC, D为棱1CC上任一点.(1)求证：直线11AB平面ABD；(2)求证：平面ABD平面11BCC B.16(本小题满分 14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c (1)若 cos(A)s
5、inA，求 A 的值； (2)若 cosA，4bc，求 sinB 的值17(本小题满分 14 分) 近年来，某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳 能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面 积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是( )(0,20100kC xxkx为常数). 记F为该村安装这种太阳能供电设
6、备的费用与该村 15年共将消耗的电费之和. (1)试解释(0)C的实际意义, 并建立F关于x的函数关系式；(2)当x为多少平方米时, F取得最小值？最小值是多少万元？18. (本小题满分 16 分)如图, 在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆2222:1(0)xyCabab 经过点M(3 2,2),椭圆的离心率2 2 3e , 1F、2F分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B. 若直线MA过坐标原点O, 试求2MAF外接圆的方程；若AMB的平分线与y轴平行, 试探究直线AB的斜率是否为定值？若是, 请给予 证明；若不是, 请说明理由.1
7、9(本小题满分 16 分) 对于定义在区间D上的函数( )f x, 若任给0xD, 均有0()f xD, 则称函数( )f x在区间D上封闭.试判断( )1f xx在区间 2,1上是否封闭, 并说明理由；若函数3( )1xag xx在区间3,10上封闭, 求实数a的取值范围；若函数3( )3h xxx在区间 , ( ,)a b a bZ上封闭, 求, a b的值.20(本小题满分 16 分)若数列 na是首项为6 12t, 公差为 6 的等差数列；数列 nb的前n项和为3nnSt.(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)若数列 nb是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n nN n,
8、均存在正整数nc, 使得1nncba, 并求数列 nc的前n项和nT；(3)设数列 nd满足nnndab, 且 nd中不存在这样的项kd, 使得“1kkdd与1kkdd”同时成立（其中2k, Nk）, 试求实数的取值范围南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 （本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟） 21选做题 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在 答题纸的指定区域内.A.（选修 41：几何证明选讲）如图，圆O的直径8AB, C为圆周上一点, 4BC, 过C作圆的切线, 过A作直线的垂线AD, D为垂足,
9、AD与圆O交于点E, 求线段AE的长B.（选修 42：矩阵与变换）已知矩阵1 2 2 xM 的一个特征值为 3, 求M的另一个特征值及其对应的一个特征向量.C（选修 44：坐标系与参数方程）在极坐标系中, A为曲线22 cos30上的动点, B为直线cossin70上的动点, 求AB的最小值.D(选修 4-5：不等式选讲）设12,na aa都是正数, 且12na aa=1, 求证：12(1)(1)(1)2nnaaa.必做题 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22（本小题满分 10 分）某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为1P32 , 乙
10、的命中率为2P, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”.若2P21 , 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在 2013 年每月进行 1 次检测, 设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为, 如果5E, 求2P的取值范围.23（本小题满分 10 分）已知nxxf)2()(, 其中*Nn(1)若展开式中含3x项的系数为 14, 求n的值；(2)当3x时, 求证：)(xf必可表示成*1()sssN的形式.2013 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共 1
11、4 小题，每小题 5 分，计 70 分.1.0,22. 34i 3.4 5 4. 2 3 5. 27 6. 26 7.3 8.69. 10.2 3 11. 0 12.0,2 2213.1 14.41, 1)25二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(1)证明:由直三棱柱111CBAABC ,得11/ /ABAB4 分而,EFABD ABABD面面,所以直线EF平面ABD7 分(2)因为三棱柱111CBAABC 为直三棱柱,所以1ABBB,又ABBC,而1BB 面11BCC B,BC 面11BCC B,且
12、1BBBCBI,所以AB 面11BCC B11 分又ABABD 面,所以平面ABD平面11BCC B14 分17解: (1) (0)C的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费2 分由(0)24100kC ,得2400k 3 分所以24001800150.50.5 ,0201005Fxx xxx7 分(2)因为18000.5(5)0.252 1800 0.50.2559.755Fxx10 分当且仅当18000.5(5)5xx,即55x 时取等号 13 分所以当x为 55 平方米时, F取得最小值为 59.75 万元14 分(说明:第(
13、2)题用导数可最值的,类似给分)18解: (1)由2 2 3e ，222228 9cab aa ，得229ab，故椭圆方程为222219xy bb 3 分又椭圆过点(3 2,2)M，则2218219bb ，解得24b ，所以椭圆的方程为22 1364xy 5 分(2)记12MFF的外接圆的圆心为T.因为1 3OMk ,所以MA的中垂线方程为3yx ,又由(3 2,2)M, 2F4 2,0,得1MF的中点为7 22,22 ，而21MFk ，所以2MF的中垂线方程为3 2yx，由33 2yxyx ，得3 29 2,44T 8 分所以圆 T 的半径为223 29 25 54 20442，故2MAF的
14、外接圆的方程为223 29 2125 444xy10 分(说明:该圆的一般式方程为223 29 220022xxyy )(3)设直线MA的斜率为k，11,A x y，22,B xy，由题直线MA与MB的斜率互为相反数，直线MB的斜率为k.联立直线MA与椭圆方程：2223 21364ykxkxy，整理得2229118 21 3162108180kxkk xkk，得 21218 2 33 291kkxk，所以22218 2 33 291kkxk，整理得21236 2 91kxxk，2212108 26 291kxxk13 分又21222123 223 26 2yykxkkxkk xxk =3221081
