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1、学案学案2 2 等等差差数数列列 返回目录 1.等差数列的概念一般地，如果一个数列从 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.2.通项公式an= ，推广：an=am+ ,第2项起，每一项与前一 项的差都a1+（n-1）d （n-m）d 返回目录 变式:a1=an+ ;d= .由此联想到点列(n,an)所在直线的 .3.等差中项若a,b,c成等差数列,则称b为 ,且b= ,a,b,c成等差数列是2b=a+c的 .4.前n项和Sn= = .变式：（1-n）d y=dx+（a1-d） a与c的等差中项 充要条件 5.等差数列an的一些常见性质（1）若m+n=p+q（m，n，p，qN*）, 则 .
2、（2）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak+m，ak+2m，（k，mN*）成等差数列.（3）设Sn是等差数列an的前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，构成的数列是 数列.返回目录 等差 am+an=ap+aq返回目录 在等差数列an中，（1）已知a15=33，a45=153，求a61；（2）已知S8=48，S12=168，求a1和d；（3）已知a6=10，S5=5，求a8和S8；（4）已知a16=3，求S31.考点一考点一 基本量计算基本量计算 返回目录 【分析分析】在等差数列中有五个重要的量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个.其中a1和d
3、是两个最重要的量，通常要先求出a1和d， （4）中因为条件少求不出a1和d，但可利用等差数列的性质求解.【解析解析】（1）解法一：设首项为a1，公差为d，依题设条件，得33=a1+14d，153=a1+44d.a61=-23+(61-1)4=217.解方程组得a1=-23，d=4.解法二解法二：由 ，得由an=am+（n-m）d,得a61=a45+16d=153+164=217.(2)Sn=na1+ n(n-1)d,8a1+28d=48,12a1+66d=168. 返回目录 解方程组得a1=-8，d=4.返回目录 a1+5d=10，5a1+10d=5，解方程组得a1=-5，d=3.a8=a6+
4、2d=10+23=16, S8= .(4)S31= 31=a1631=331=93.【评析】 方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本 的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.（3）a6=10，S5=5,对应演练对应演练已知等差数列an中，a2=8，前10项和S10=185.（1）求数列an的通项公式an；（2）若从数列an中依次取出第2，4，82n, 项， 按原来的顺序排成一个新的数列，试求新数列的前几项和An.返回目录 返回目录 （1）设数列an的公差为d，由a2=8，S10=185，a1+d=8，10a1+ d=185,a1=5,d=3. （2
5、） An=a2+a4+a8+a2n=(32+2)+(34+2)+(38+2)+(32n+2)=3(2+4+8+2n)+2n=3 +2n=32n+1+2n-6.an=3n+2.得返回目录 设实数a10,且函数f（x）=a（x2+1）-(2x+ )有最小值-1，若数列an的前n项和Sn=f（n），令bn= , n=1,2,3，.证明：数列bn是等差数列.【分析分析】证明数列an为等差数列，只需证明an+1-an=d(d为常数).考点二考点二 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明 【证明证明】f（x）=a（x2+1）-(2x+ )=a(x- )2+a- ，又f（x）=a（x2+1）-(2x+ )
6、有最小值-1，f（x）的最小值为f( ),且a0.即f( )=a- =-1,解得a=1或a=-2(舍去).故f(x)=x2-2x,即Sn=f(n)=n2-2n.返回目录 由a1=S1,得a1=-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-2n)-(n-1)2-2(n-1)=2n-3,即an=2n-3.又n=1时,a1=-1=21-3,即a1也满足an=2n-3.当n2时，an-an-1=（2n-3）-2(n-1)-3=2,an是首项为-1，公差为2的等差数列.a2+a4+a2n=n =n =n（2n-1），bn=2n-1.因此，当n2时，bn-bn-1=（2n-1）-（2n-3）=2，又b1=
7、 =1，故bn是以1为首项，2为公差的等差数列.返回目录 【评析评析】证明一个数列an是等差数列的基本方 法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an+1-an=d（nN*）,二是利用等差中项法，即证明：an+2+an=2an+1（nN*）.在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以 利用定义法，否则，可以利用等差中项法.返回目录 返回目录 对应演练对应演练在数列an中，前n项和为Sn.已知a1=3，a2=2，且Sn+1-2Sn+Sn-1+1=0（nN*,且n2）.(1)求证：数列an是等差数列；(2)求数列（4-an）2n的前n项和Tn.(1)证明：由Sn+1-
8、2Sn+Sn-1+1=0（nN*，且n2）,得（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=-1，即an+1-an=-1（n2）.又由已知a1=3，a2=2，a2-a1=2-3=-1.an+1-an=-1（nN*）.数列an是以3为首项，以-1为公差的等差数列，且an=-n+4.返回目录 （2）（4-an）2n=n2n，Tn=12+222+323+n2n, 2Tn=122+233+324+n2n+1, -得Tn=-（2+22+23+2n）+n2n+1=2-2n+1+n2n+1=2+(n-1)2n+1. 返回目录 返回目录 在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10 =S15,求当n取
9、何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.【分析分析】 (1)由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正,或利用Sn是关于n的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号.考点三考点三 等差数列前等差数列前n n项和的最值项和的最值 返回目录 【解析解析】解法一：a1=20,S10=S15,1020+ d=1520+ d,d=- .an=20+(n-1)(- )=- n+ .a13=0.即当a12时，an0，n14时，an0.当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=1220+ (- )=
10、130.解法二解法二：同解法一求得d=- .Sn=20n+ (- )=- n2+ n=- (n- )2+ .nN+,当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.返回目录 返回目录 解法三解法三：同解法一得d=- .又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0.5a13=0，即a13=0.当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值 为S12=S13=130.【评析评析】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A，
11、B为常数 ）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.返回目录 对应演练对应演练在等差数列an中，a10,S9=S12,求数列前多少项和最小.解法一解法一：由S9=S12，得9a1+ d=12a1+ d,得3a1=-30d，d=- a1.a10,d0,Sn=na1+ n（n-1）d= dn2- dn= (n- )2- d.d0,Sn有最小值.又nN*,n=10或n=11时，Sn取最小值，最小值是-55d，即S10或S11最小且S10=S11=-55d.解法二解法二：由解法一知d=- a10,又a10,数列an为递增数列.a0, a1+（n-1）d0an+10, a1+nd0 a1+(n-1)(-
12、a1)0 1- (n-1)0a1+n(- a1)0 1- n0 10n11,数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值.n=10或11时，Sn取最小值.即令返回目录 解法三解法三：S9=S12，a10+a11+a12=0，3a11=0，a11=0.又a10,数列为递增数列.因此数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值.当n=10或11时，Sn取最小值.返回目录 返回目录 设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn=324，最后6项的和为180（n6）,求数列的项数n.【分析分析】 在等差数列an中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m，n，p，qN*）用此性质可优化解题过程.考点四考点四 等差数列性质的应用等差数列性质的应用【解析解析】由题意可知a1+a2+a6=36 an+an-1+an-2+an-5=180 +得（a1+an）+（a2+an-1）+（a6+an-5）=6（a1+an）=216.a1+an=36.又Sn= =324，18n=324.n=18.返回目录 返回目录 【评析评析】本题的解题关键是将性质m+n=p+q am+an=ap+aq与前n项和公式Sn= 结合在一起,采用整体思想,简化解题过程.对应演练对应演练（1）等差数列an中, a15=33,a45=153,则d=
