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1、13函数基本概念回归课本复习材料函数基本概念回归课本复习材料 1 1 今天，我怕谁之二今天，我怕谁之二 一考试要求：一考试要求： (1)(1)了解映射的概念，理解函数的概念了解映射的概念，理解函数的概念. .(2)(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法简单函数的单调性、奇偶性的方法. .(3)(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数关系，会求一些简单函数的反函数. .(4)(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算理解分数指数幂
2、的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质性质，掌握指数函数的概念、图像和性质. .(5)(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质理解对数的概念，掌握对数的运算性质. .掌握对掌握对数函数的概念、图像和性质数函数的概念、图像和性质. .(6)(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题质解决某些简单的实际问题. . 二基础知识二基础知识: : 1.1.二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式(1)(1)一般式一般式; ;2( )(0)f xaxbxc a(2)(2)顶点式顶点式; ;2( )
3、()(0)f xa xhk a(3)(3)零点式零点式. .12( )()()(0)f xa xxxxa2.解连不等式解连不等式( )Nf xM3.3.方程方程在在上有且只有一个实根上有且只有一个实根, ,0)(xf),(21kk与与不等价不等价, ,前者是后者的一个必前者是后者的一个必0)()(21kfkf 要而不是充分条件要而不是充分条件. .特别地特别地, , 方程方程有且只有一个实根在有且只有一个实根在)0(02acbxax内内, ,等价于等价于),(21kk0)()(21kfkf 4.4.闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数在闭区间在闭区间)0()(2a
4、cbxaxxf上的最值只能在上的最值只能在处及区间的两端处及区间的两端qp,abx2点处取得，具体如下：点处取得，具体如下：当当 a0a0 时，若时，若，则，则qpabx,2minmaxmax( )(),( )( ),( )2bf xff xf pf qa；，qpabx,2maxmax( )( ),( )f xf pf q，. .minmin( )( ),( )f xf pf q当当 a0)a0) （1 1），则，则的周期的周期 T=aT=a；)()(axfxf)(xf（2 2），0)()(axfxf或或，)0)()(1)(xfxfaxf或或, ,1()( )f xaf x ( ( )0)f
5、x 或或, ,则则21( )( )(),( ( )0,1 )2f xfxf xaf x的周期的周期 T=2aT=2a；)(xf(3)(3)，则，则的的)0)()(11)(xfaxfxf)(xf周期周期 T=3aT=3a；(4)(4)且且)()(1)()()(2121 21xfxfxfxfxxf( )1f a ，则，则周期周期1212( ( )()1,0 | 2 )f xf xxxa)(xfT=4aT=4a； (5)(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa, ,( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f xa f xa f xa f xa则则
6、的周期的周期 T=5aT=5a；)(xf(6)(6)，则，则的周期的周期 T=6a.T=6a.)()()(axfxfaxf)(xf 20.20. 指数、对数值的大小比较指数、对数值的大小比较： （1 1）化同底后利用函数的单调性；）化同底后利用函数的单调性； （2 2）作差或作商法；）作差或作商法； （3 3）利用中间量（）利用中间量（0 0 或或 1 1） ； （4 4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。）化同指数（或同真数）后利用图象比较。15函数基本概念回归课本复习材料函数基本概念回归课本复习材料 2 2 今天，我怕谁之三今天，我怕谁之三 20.20.分数指数幂分数指数幂 (1)(1)
7、（，且，且）. .1m n nma a0,am nN1n (2)(2)（，且，且）. .1m n m na a0,am nN1n 2121根式的性质根式的性质（1 1）. .（2 2）当）当为奇数时，为奇数时，()nnaan；nnaa当当为偶数时，为偶数时，. .n,0|,0nna aaaa a 2222有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质(1)(1) . .(0, ,)rsr saaaar sQ(2)(2) . .()(0, ,)rsrsaaar sQ(3)(3). .()(0,0,)rrraba b abrQ 注：注： 若若 a0， ，p 是一个无理数，是一个无理数，则则 ap表示一个
8、表示一个 确定的确定的实实数上述有理指数数上述有理指数幂幂的运算性的运算性质质， ，对对于无于无 理数指数理数指数幂幂都适用都适用. 23.23.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式. .logb aNbaN(0,1,0)aaN 24.24.对数的换底公式对数的换底公式 ( (, ,且且, , ,logloglogm a mNNa0a 1a 0m 且且, , ).).1m 0N 推论推论 ( (, ,且且, ,loglogmn aanbbm0a 1a , ,且且, , , ).).,0m n 1m 1n 0N 2525对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a0 0，a1a1，
9、M M0 0，N N0 0，则，则 (1)(1); ;log ()loglogaaaMNMN(2)(2) ; ;logloglogaaaMMNN(3)(3). .loglog()n aaMnM nR26.26.设函数设函数, ,) 0)(log)(2acbxaxxfm记记. .若若的定义域为的定义域为, ,则则acb42)(xfR，且，且; ;若若的值域为的值域为, ,则则，0a0)(xfR0a且且. .对于对于的情形的情形, ,需要单独检验需要单独检验. .00a 27.27. 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广若若, , , , ,则函数则函数0a 0b0x 1xalog ()a
10、xybx(1)(1)当当时时, ,在在和和上上为为ab1(0, ) a1( ,) alog ()axybx增函数增函数. .(2)(2)当当时时, ,在在和和上上ab1(0,)a1(,)a为减函数为减函数. .log ()axybx推论推论:设设，且，且，则，则1nm0p 0a 1a （1）. .log()logmpmnpn（2）. .2logloglog2aaamnmn三基本方法三基本方法 1.映射映射: : A AB BfA 中元素必须都有象且唯一；中元素必须都有象且唯一； B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一 2.函数函数: : A AB B
11、是特殊的映射是特殊的映射。特殊在。特殊在定义定义f 域域 A A 和值域和值域 B B 都是非空数集都是非空数集！据此可知函数图像！据此可知函数图像 与与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线轴垂线xy 的公共点可能没有，也可能有任意个。的公共点可能没有，也可能有任意个。 3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义同一函数的概念。构成函数的三要素是定义 域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应 法则唯一确定，因此法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应当两个函数的定义域和对应 法则相同时，它们一定为同一函数法则相同时，它
12、们一定为同一函数。4. 求函数定义域的常用方法（在求函数定义域的常用方法（在研究函数问研究函数问 题时要树立定义域优先的原则题时要树立定义域优先的原则）复合函数的定义域：若已知复合函数的定义域：若已知的定义域为的定义域为( )f x,其复合函数其复合函数的定义域由不等式的定义域由不等式 , a b ( )f g x解出即可；若已知解出即可；若已知的定义的定义( )ag xb ( )f g x域为域为,求求的定义域，相当于当的定义域，相当于当 , a b( )f x时，求时，求的值域（即的值域（即的定义域）的定义域） , xa b( )g x( )f x 。 5.求函数值域（最值）的方法：求函数
13、值域（最值）的方法： （1）配方法配方法（2）换元法换元法通过换元把一通过换元把一 个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函 数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模 型，型，运用换元法时，要特别要注意新元运用换元法时，要特别要注意新元 的范围的范围）t （3）函数有界性法函数有界性法直接求函数的值域困难时，直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数 的值域，最常用的就是三角函数的有界性（的值域，最常用的就是三角函数的有界性（4）单单 调性
14、法调性法利用一次函数，反比例函数，指数函利用一次函数，反比例函数，指数函 数，对数函数等函数的单调性（数，对数函数等函数的单调性（5）数形结合数形结合16法法函数解析式具有明显的某种几何意义，如函数解析式具有明显的某种几何意义，如 两点的距离、直线斜率、等等（两点的距离、直线斜率、等等（6）判别式法判别式法 对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可 通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求 解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分 式后，再利用均值不等式：式后，再
15、利用均值不等式：型，可直接用不等式性质，型，可直接用不等式性质，2bykx型，先化简，再用均值不等式型，先化简，再用均值不等式 2bxyxmxn型，通常用判别式法；型，通常用判别式法； 22xm xnyxmxn型，可用判别式法或均型，可用判别式法或均2xm xnymxn 值不等式法值不等式法 （7）不等式法不等式法利用基本不等式利用基本不等式 求函数的最值，其题型求函数的最值，其题型2( ,)abab a bR 特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积 时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项 和两边平方等技巧。和两边平方等技巧。 （8）导数法导数法一般适用于高次多项式函数，一般适用于高次多项式函数，提醒提醒：（：（1）求函数的定义域、值域时，你按）求函数的定义域、值域时，你按 要求写成集合形式了吗？（要求写成集合形式了吗？（2）函
