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1、第二章 导数与微分2.2 函数的求导法则与基本初等函数求导公式本节内容1 函数的和、差、积、商的求导法则2 反函数求导法则3 复合函数的求导法则4 基本求导法则与导数公式五、隐函数的导数2.2 求导法则与求导公式定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且一、四则运算求导法则 2.2 求导法则与求导公式此法则可推广到任意有限项的情形.则故结论成立.例如,证: 设 2.2 求导法则与求导公式证: 设则有故结论成立.推论:( C为常数 )(2)2.2 求导法则与求导公式解:例1. 求 及2.2 求导法则与求导公式证: 设则有故结论成立.推论:( C为常数 )(3)
2、2.2 求导法则与求导公式证: 类似可证:例2. 求证2.2 求导法则与求导公式定理2. 在 证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此二、反函数的求导法则 y 的某邻域内单调可导, 设 为 的反函数, 且 或2.2 求导法则与求导公式解: 1) 设则类似可求得利用例3. 求反三角函数及指数函数的导数.简单说，反函数的导数等于原来函数的导数的倒数.2.2 求导法则与求导公式则特别当时,小结:2) 设2.2 求导法则与求导公式在点 x 可导,定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,证:在点 u 可导, 故（当 时 )故有三、复合函数求导法则(链式规则)2.2 求导法则与求
3、导公式例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.2.2 求导法则与求导公式例4、求下列导数解: (1)复合而成，因此函数 可以看做是由 ，2.2 函数的求导法则与基本初等函数求导公式(2)函数 可以看做是由 ，复合而成，因此(3)2.2 求导法则与求导公式求解:思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同例5、设2.2 求导法则与求导公式解:例6.设2.2 求导法则与求导公式例7.设解:当 时，解:当 时，例8.设这里 可导，且令 ，当 时，由例7知2.2 求导法则与求导公式1. 常数和基本初等函数的导数四、基本导数公式与求导法则2.2
4、 求导法则与求导公式( C为常数 )3. 复合函数求导法则4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式其他公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数2. 四则运算法则2.2 求导法则与求导公式求解:例10.设解:求先化简后求导例9.设2.2 求导法则与求导公式求解:关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导例11.设2.2 求导法则与求导公式求解:例12.设五、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数 .例如,可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意
5、 y = y(x) )(含导数 的方程)2.2 求导法则与求导公式例13. 求由方程在 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数2.2 求导法则与求导公式例14. 求椭圆在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即2.2 求导法则与求导公式1) 对幂指函数可用对数按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:求导法求导 :对数求导法2.2 求导法则与求导公式例15. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导2.2 求导法则与求导公式2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例16两边取对数两边对 x 求导2.2 求导法则与求导公式例17 对 x 求导两边取对数2.2 求导法则与求导公式2.2 求导法则与求导公式思考与练习解: (1)(2)或1.求下列函数的导数2.2 求导法则与求导公式求解: 方法1 利用导数定义.方法2 利用求导公式.2.设2.2 求导法则与求导公式解：4 . 设解:其中可导, 求求3.设2.2 求导法则与求导公式作业作业 P52 : 1P52 : 1偶数题；偶数题；3(2)(3)3(2)(3)， 5(1)(2)5(1)(2)
