量子力学 线性谐振子

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1、 2.7 线性谐振子(理想模型) 2.7 线性谐振子(理想模型) 重点：重点：线性谐振子问题的本征解 难点：难点：结果讨论及其理解 一、参考模型 一、参考模型 无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。 任何体系在稳定平衡点附近的运动都可以近似地看作一维谐振子。如双原子分子的振动，晶体结构中原子和离子的振动，核振动等等都使用了谐振子模型，辐射场也可以看作线性谐振子的集合。 以双原子分子为例： 双原子分子中两原子间的势能U是两原子间距离 x 的函数，其形状如图所示。在ax =处势能有一极小值，这是一个稳定平衡点，在这点附近，)x(U可以展为)ax( 的幂级数，且注意到 0xUax

2、=则：.)ax)(a ( U!21)a (U)x(U2+= 若忽略高次项，且令)a ( Uk =， 则有：2)ax(k21)a (U)x(U+= 再令0)a (U=；ax x=，则有2kx21) x(U=，可以写成： 2kx21)x(U= (1) 其中2k=。 凡是在势能为2kx21)x(U=的场中运动的微观体系都称之为线性谐振子。 二、线性谐振子的本征问题 二、线性谐振子的本征问题 1.体系的哈密顿及本征方程 22 222 x21 dxd 2H+=h)x(E)x(x21 dxd 222 222 =+h2.本征方程的求解 方程两边同乘以h2得： =+hhhE2xdxd2 22令h=；x=；=h

3、E2(2) 得到：0)()()(dd2 22 =+(3) 由于方程0)()()(dd2 22 =+不能直接求解，可先求的渐进解，此时由于与2 相比可以忽略，则方程退化为： 0dd2 22 =渐近方程 (4) 其渐进解为：221 e)( 由波函数的有限性(满足0)( )知，只能取2/2e)( 的解，于是可以令方程0)()()(dd2 22 =+的一般解为： )(He)(2/2=(5) 其中待求函数)(H 应满足条件满足条件： a. 在有限时)(H 应为有限； b. 当时，)(H 也必须保证)(有限，即0)(。 因为只有这样才能满足波函数的标准条件。 将)(He)(2/2=代入0)()()(dd2

4、 22 =+中，有: 0H) 1(ddH2dHd22 =+厄密方程 (6) 为)(H 所满足的方程。 利用级数方法求解0H) 1(ddH2dHd22 =+，这个级数必须含有有限项， 才能在时使)(有限， 而级数含有有限项的条件是为奇数（见教材 P248 附录 II） ，即： 1n2 += ,.2 , 1 , 0n = (7) 而=hE2，则一维线性谐振子的能级为： +=h)21n(En ,.2 , 1 , 0n = (8) 其中0H) 1(ddH2dHd22 =+的解为厄密多项式，即： 22edde) 1()(Hnn n n = (9) 其中 n 表示)(Hn的最高次幂，并且)(Hn的最高次数

5、项的系数为n2 。例如：1)(H, 0n0=； ,.2)(H, 1n1=； 24)(H, 2n2 2=； 且)(Hn递推关系为： )(nH2d)(dH1nn=； 0)(nH2)(H2)(H1nn1n=+(证明见梁昆淼编数学物理方法第一版 P539)。 于是得体系能量本征函数: )(HeN)(n2/ nn2=或)x(HeN)x(n2/x nn22=(10) nN为归一化常数，由1dx2=+可得：!n2Nnn=（见附录 II） 。 三、结果讨论 三、结果讨论 1.能级 +=h)21n(En ,.2 , 1 , 0n = (1)能量是量子化的，且相邻能级的间距 =+hn1nnEEE 即能级是等间距的

6、。 这与 Planck 假设一致，能级均匀分布能级均匀分布，式中的=k是谐振子的经典固有圆频率，不是 De Broglie 波的圆频率。 (2)存在零点能=h21E0（基态能量） 。 在0T =时也有振动， 这是旧量子论中没有的， 已被实验所证实 （光被晶体散射） ，这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导致的。 2.波函数)x(n和几率密度2 n ： )x(HeN)x(n2/x nn22=,.2 , 1 , 0n= (1)0)x(n，满足束缚态定义，在一定范围内形成驻波。 (2)n（,.2 , 1 , 0n =）有 n 个节点，第n个波函数（1n）有1n 个节点（参阅 P42 图 1

7、2） 。 (3)宇称为n) 1(： 因)x(Hn为x的 n 次多项式，当 n 为奇数时，只存在奇幂次；当 n为偶数时，只存在偶幂次。 所以：)x() 1()x(nn n=，即宇称为n) 1(。 (4)2 n有1n +个极大值，有n个零点（与经典分布不同） ，分布关于0y =对称（参阅 P43 图 13） 。 3.与经典振子的比较 (1)以上特点不同于经典振子的性质，是源于微观粒子的波粒二象性。 因量子振子要在一定范围内形成驻波， 故波长、 动量和能量波长、 动量和能量必分立， 2有一系列的极大和零点，故有波动性，不可能静止于原点，固有零点振动，有零点能的存在。而对于经典振子，能量很大，对应于量

8、子振子n很大的态，这时nnE/E和0E都小到可以忽略，能量趋于连续，零点能无显著作用。 例如：g1m =，s/rad1=和振幅cm2x0=的经典振子，此时 J101xm21E72 02 M.C= 而J10E34 n=h 则：010EE27M.Cn可见：J1017的振子的量子数相当于2710n =。 (2)几率比较 考虑经典谐振子的几率分布： 在+d区间找到质点的几率d)(与质点在此区域内逗留的时间dt成比例，即： Tdtd)(= (T 为振动周期) 可得：Tv1)dtdT/(1)(=，即)(与质点的速度v成反比。 而)tsin(a+=，即在点速度：2/122a1adtdv = 则：2/122a1)( (参阅 P43 图 13 的虚线) 可见：经典谐振子的几率分布与量子谐振子的几率分布在前几个态毫 无相似之处，基态情况基本相反，量子数越大，量子振子的几率分布的平均值越趋于经典分布。