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1、 定义定义., , 22112121的内积与称为向量令维向量设有的内积与称为向量令维向量设有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn +=+=?向量内积的定义及运算规律向量内积的定义及运算规律向量内积的定义及运算规律向量内积的定义及运算规律., 都是列向量其中内积的矩阵表示都是列向量其中内积的矩阵表示yxyxyxT= =.,)3(;,)2(;,)1(:),( zyzxzyxyxyxxyyxnzyx+=+=+=+=为实数量维向为其中内积满足下列运算规律为实数量维向为其中内积满足下列运算规律定义定义).(, 22 22 1或范数的长度维向量称为令或范数的长度维向量称为令xnxxxxxxx
2、n+=+=?向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：.)3(;)2(; 0,0; 0,0)1(yxyxxxxxxx+=+= = = 三角不等式齐次性时当时当非负性三角不等式齐次性时当时当非负性向量的长度向量的长度向量的长度向量的长度.,1为单位向量称时当为单位向量称时当xx = =).0( , 1, 2时当从而有不等式向量的内积满足施瓦茨时当从而有不等式向量的内积满足施瓦茨yxyxyxyyxxyx定义定义.,arccos ,0, 0的夹角与维向量称为时当的夹角与维向量称为时当yxnyxyxyx= = ., 0.,0,与任何向量都正交则若正交与称向量时当与任何向量都正交则若正交与称向量时
3、当xxyxyx= = =向量的夹角向量的夹角向量的夹角向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基定理定理.,2121线性无关则零向量是一组两两正交的非维向量若线性无关则零向量是一组两两正交的非维向量若aaaaaanrr?.,)(,212121的一个规范正交基是则称两两正交如果的一个基是向量空间维向量设的一个规范正交基是则称两两正交如果的一个基是向量空间维向量设VeeeeeeRVVeeenrrn r? 定义定义正交向量组的性质正交向量组的性质正交向量组的性质
4、正交向量组的性质)., 2 , 1(, ,221121rieaaeeeeaaVVeeeiT iirrr?=+=+= 其中都可表为中任一向量那么的一个规范正交基是若其中都可表为中任一向量那么的一个规范正交基是若施密特正交化方法施密特正交化方法.,2121范正交化这个基规只需把的一个规范正交基要求的一个基是向量空间设范正交化这个基规只需把的一个规范正交基要求的一个基是向量空间设aaaVVaaarr?.,., , ,;,;21211 111 2 222 1 1111 1121 2211等价且与两两正交则取等价且与两两正交则取aaabbbbbbabbbbabbbbababbbbabababrrr rr
5、rrrr rr? =第一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化.,1,1,1 2 221 11的一个规范正交基就得取的一个规范正交基就得取Vbbebbebber rr=?定义定义.),( 1为正交矩阵那么称即满足阶矩阵如果为正交矩阵那么称即满足阶矩阵如果AAAEAAAnTT= .)(的一个规范正交基向量构成向量空间行个列的正交矩阵的一个规范正交基向量构成向量空间行个列的正交矩阵RnAn正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行 （列）向量都是单位向量，且两
6、两正交AA定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为 正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变若为正交矩阵，则线性变换称为 正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变.,xxxpxPxyyyPxyTTTT=则有为正交变换设=则有为正交变换设PPxy= =定义定义.,的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那么成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设的特征向量的对应于特征值称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那么成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设 AxAxAxxnnA= =.)(.0的特征多项式称为方阵的特征方程称为方阵的特征多项式称为方阵的特征方程称为方阵AEAf
7、AEA = = 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量.)2(;)1(,)(.2122112121AaaaaAnAnnnnnnij=+=+=+=+= =?则有的特征值为若个特征值有阶方阵则有的特征值为若个特征值有阶方阵.1;1,)3(.)(,)(.)()();()2(;)1(,)(11010特征值的是的特征值是可逆时当其中的特征值是为任意自然数的特征值是的特征值也是则的特征值是设特征值的是的特征值是可逆时当其中的特征值是为任意自然数的特征值是的特征值也是则的特征值是设AAAAAaAaEaAaaaAkAAaAm mm mkkTijnn+=+=+=
8、+= = ?有关特征值的一些结论有关特征值的一些结论有关特征值的一些结论有关特征值的一些结论定理定理., 21212121征向量是线性无关的即属于不同特征值的特线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设征向量是线性无关的即属于不同特征值的特线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设ppppppmAmmmm? 定理定理属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论有关特征向量的一些结论有关特征向量的一些结论有关特征向量的一些结论定义定义.
9、,.,11的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对进行运算对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对进行运算对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设BAPAAPPABAABBAPPPnBA= =矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵.,)2( 2121个特征值的是则相似与对角矩阵若个特征值的是则相似与对角矩阵若nAAnn ? =有关相似矩阵的性质有关相似矩阵的性质有关相似矩阵的性质有关相似
10、矩阵的性质 若与相似，则与的特征多项式 相同，从而与的特征值亦相同若与相似，则与的特征多项式 相同，从而与的特征值亦相同ABA AB B)1(.)()(,.)()(,)3(111111PPAPPAAPPPPBPAPBPAPPBAkkkk = = = = 则有为对角阵使若有可逆阵特别地则若则有为对角阵使若有可逆阵特别地则若(4)能对角化的充分必要条件是有个线 性无关的特征向量(4)能对角化的充分必要条件是有个线 性无关的特征向量AAn(5)有 个互异的特征值，则 与对角阵相似(5)有 个互异的特征值，则 与对角阵相似AAn.)1(实数实对称矩阵的特征值为 实数实对称矩阵的特征值为.)2(量必正交
11、特征值的特征向实对称矩阵的属于不同量必正交特征值的特征向实对称矩阵的属于不同.,)3(个线性无关的特征向量的必有则对应重特征值的是实对称矩阵若个线性无关的特征向量的必有则对应重特征值的是实对称矩阵若rrA .,.)4(1对角阵个特征值为对角元素的的以是其中使得则必有正交阵称阵阶实对为即若实对称矩阵必可对角化对角阵个特征值为对角元素的的以是其中使得则必有正交阵称阵阶实对为即若实对称矩阵必可对角化nAAPPPnA= 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵定义定义.2 22 ),( ,1, 13113211222 2222 1112121称为二次型的二次齐次
12、函数个变量含有称为二次型的二次齐次函数个变量含有xxaxxaxxaxaxaxaxxxfxxxnnnnnnnnnn+=+=?二次型二次型二次型二次型.,.,的秩的秩称为二次型称阵对的二次型称为对称阵的矩阵为二次型称其中二次型可记作的秩的秩称为二次型称阵对的二次型称为对称阵的矩阵为二次型称其中二次型可记作fAAffAAAAxxfTT= = =二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的.,;,称为实二次型是实数时当称为复二次型是复数时当称为实二次型是实数时当称为复二次型是复数时当fafaijij定义定义).(22 222 11或法式称为二次型的标准形只含平方项的二次型或法式称为二次型的
13、标准形只含平方项的二次型ykykykfnn+=+=?二次型的标准形二次型的标准形二次型的标准形二次型的标准形).()(,)1(ARBRBAACCBCT=且亦为对称阵则阵为对称如果令任给可逆矩阵且亦为对称阵则阵为对称如果令任给可逆矩阵.)(,),()2(2122 222 111,的特征值的矩阵是其中化为标准形使有正交变换总任给实二次型的特征值的矩阵是其中化为标准形使有正交变换总任给实二次型aAfyyyffPyxaaxxafijnnnjiijjinjiij=+=+= = =?化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形化二次型为标准形.,)3(变换换一般而言不是正交此时所用的可逆线性变形二次型化为标准拉格朗日配方法亦可把变换换一般而言不是正交此时所用的可逆线性变形二次型化为标准拉格朗日配方法亦可把定义定义., 0)(, 0;,),0)0(0)(, 0,)(是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的称对称矩阵并为正定二次型则称显然都有如果对任何设有实二次型是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的称对称矩阵并为正定二次型则称显然都有如果对任何设有实二次型AfxfxAffxfxAxxxfT = =正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型.,),0(),0(,212122 222 1122 222 11数的个数相等中正中正数的个数与则
