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1、NBF 考研包过班考研包过班 www.kaoyan.in QQ 客服：客服：100940168 1第一讲第一讲 极限、无穷小与连续性极限、无穷小与连续性 一、知识网络图一、知识网络图 二、重点考核点二、重点考核点 这部分的重点是： 掌握求极限的各种方法 1()nnxf x+= 廈門大學（陳彬）NBF 考研包过班考研包过班 www.kaoyan.in QQ 客服：客服：100940168 2掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法 判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限） 复合函数、分段函数及函数记号的运算 1 极限的重要性质极限的重要性质 1不等式性质 设ByAxnnnn= liml
2、im，且 AB，则存在自然数 N，使得当 nN 时有 xnyn 设ByAxnnnn= limlim，且存在自然数 N，当 nN 时有 xnyn，则 AB 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设Axn n= lim，且 A0，则存在自然数 N，使得当 nN 时有 xn0设Axn n= lim，且存在自然数 N，当 nN 时有 xn0，则 A0 对各种函数极限有类似的性质例如：设BxgAxf xxxx= )(lim)(lim00，且 AB，则存在0，使得当00 ， 使得00xx=+3设)(lim0xf xx= + ，0)(lim0= Bxg xx，则 += 0)()0(0)(lim)(0BBxf
3、xgxx【例例 1】 设，则，又_)(lim0)(glim)()(lim000= xfxAxgxfxxxxxx【分析分析】 00)()()(lim)(lim00= Axgxgxfxf xxxx廈門大學（陳彬）NBF 考研包过班考研包过班 www.kaoyan.in QQ 客服：客服：100940168 4【例例 2】设an ， bn ， cn均为非负数列，且，= +nnnnnncbalim1lim0lim则必有 （A）anbn对任意 n 成立 （B）bncn对任意 n 成立 （C）极限nnnca lim不存在 （D）nnncb lim不存在 用相消法求用相消法求00或或型极限型极限 【例例 1
4、】求)cos1 (sin1tan1lim 0xxxxI x+= 【解解】作恒等变形，分子、分母同乘得xxsin1tan1+ 0tansinlim(1 cos ) 1tan1 sinxxxIxxxx=+xxxxxxxxsin1tan11lim)cos1 ()cos1 (tanlim 00+= 21 211= 【例例 2】求22411lim sinxxxxI xx+ += +【解解】作恒等变形，分子、分母同除)0(2xxx=得 20211141401 0lim1sin1 01xxxxIx x+ + =+廈門大學（陳彬）NBF 考研包过班考研包过班 www.kaoyan.in QQ 客服：客服：10
5、0940168 5利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限 【例例 1】设 f（x）在 x = 0 有连续导数，又 2)(sinlim20= += xxf xxI x求(0)(0)ff 与 【例例 2】求)1ln()cos1 (1cossin2 lim20xxxxxx+ 【例例 3】求xxIxxe)1 (lim10+= 【例例 4】求xxIxxxsineelimsin0= 廈門大學（陳彬）NBF 考研包过班考研包过班 www.kaoyan.in QQ 客服：客服：100940168 6【例例 5】若306sin( )lim0 xxxf x x+=，则_)(6lim20=+xxfx 【例例 6】
6、求)1ln(0)(tanlimxxxI+= 【例例 7】 设0，0 为常数且1 22lim ()aaaxIxxx +=+=， 则 （，） = _ 【分析分析】型极限 2101 21)1 (lim1t 1)(1limttxxxIaataax+= += +ttataaaat2)1 (1lim1110+ = +=+=+)20()2(21)2(0)1 (21lim2110 aaattaaat因此（，） = )212(， 分别求左、右极限的情形，分别求分别求左、右极限的情形，分别求nnnnxx212limlim +与的情形的情形 【例例 1】设|sine1e2)(41xxxfxx +，求 0lim( )
7、 xf x 廈門大學（陳彬）NBF 考研包过班考研包过班 www.kaoyan.in QQ 客服：客服：100940168 7【例例 2】求nnnI n)1(1lim+= 利用函数极限求数列极限利用函数极限求数列极限 【例【例1】 】 求) 1(lima anInn+= 【例例 2】求21lim( tan)n nInn+= 【解解 1】)11tan( 11tan12 ) 11tan(1lim +=nnnnnnnnI 转化为求2 230021tan 11tan11tanlim( tan1)limlimlim1nnxxn x xxnxn nnxx n+ + = 12 3 201cos1lime33
8、xxIx+= 【解解 2】用求指数型极限的一般方法 nnnnI11tan ln2elim += 转化为求 2021tantan1ln lim lnlim1nxnx xn x n+= 201tanlimxxxx = （等价无穷小因子替换） ，余下同前 廈門大學（陳彬）NBF 考研包过班考研包过班 www.kaoyan.in QQ 客服：客服：100940168 83 无穷小和它的阶无穷小和它的阶 1无穷小、极限、无穷大及其联系无穷小、极限、无穷大及其联系 （1）无穷小与无穷大的定义 （2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系 0lim( )( )( ) xxf xAf xAx =+ 其中00lim
9、( )0 ( ( )(1). xxxf xAoxx =+， o（1）表示无穷小量 在同一个极限过程中，u 是无穷小量（u0）u1是无穷大量反之若 u 是无穷大量，则u1是无穷小量 2无穷小阶的概念无穷小阶的概念 （1）定义定义 同一极限过程中，（x） ，（x）为无穷小， 设 0( )( )1( )( ) ( )lim( )( )()( )0( )( )( )( )()lxxlxx xlxxxlxxxox = = =为有限数，称与为同阶无穷小时，称与为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为极限过程定义定义 设在同一极限过程中（x） ，（x）均为无穷小，（x）为基本无穷小，若存在正数k
10、 与常数l使得0)()(lim= lxxk称（x） 是（x） 的 k 阶无穷小， 特别有0)()(lim00=lxxxkxx，称 xx0时（x）是（xx0）的 k 阶无穷小 （2）重要的等价无穷小 x0 时 sinx x，tanx x，（1 + x） x，ex1 x； ax1 xlna，arcsinx x， arctanx x； （1 + x）a1 ax，1cosx 2 21x （3）等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1若 ， 2 = + o（） 3在求“0 0”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以替换 【例例 1】 求 += 13cos21lim30xxx xI 廈門大學（陳彬）
11、NBF 考研包过班考研包过班 www.kaoyan.in QQ 客服：客服：100940168 9【例【例2】 】 设_)(lim5132sin)(1ln lim200=+xxfxxfxxx，则 【分析分析】 由已知条件及02sin)(lim0)2sin)(1ln(lim0) 13(lim 000=+= xxf xxfxxxx 又在x = 0 某空心邻域 f（x）0( )( )( )ln(1) (0)sin2sin22f xf xf xxxxx+，又 3x1 xln3于是 22000( )/2( )( )limlim5lim10ln3ln32ln3xxxf xxf xf x xxx= 【例例
12、3】 设 x a 时（x） ，（x） 分别是 x a 的 n 阶与 m 阶无穷小， 又0)(lim= Axh ax，则 x a 时 （1）（x）h（x）是 x a 的_阶无穷小 （2）（x）（x）是 x a 的_阶无穷小 （3）nm 时，（x）（x）是 x a 的_阶无穷小 （4）nm 时)()( xx 是 x a 的_阶无穷小 （5）k 是正整数时，k是 x a 的_阶无穷小 以 上 结 论 容 易 按 定 义 证 明 。 例 如 ， 已 知0)()(lim=Aaxxfnax， ( )( ) ( )( )( )lim0limlim0()()()()mn mnmxaxaxag xf x g x
13、f xg xBA Bxaxaxaxa+=f （x） g （x） 是 x a 的 n + m 阶无穷小 【例例 4】设 f（x）连续，x a 时 f（x）是 x a 的 n 阶无穷小，求证：xadttf)(是 x a 的 n + 1 阶无穷小 廈門大學（陳彬）NBF 考研包过班考研包过班 www.kaoyan.in QQ 客服：客服：100940168 10【例例 5】x 0 时，231) 1( xxx +是 x 的_阶无穷小；332xx是 x 的_阶无穷小；)1ln(sin3xx +是 x 的_阶无穷小，xdtt 02sin是 x 的_阶无穷小 【例例 6】x 0 时，下列无穷小中（ ）比其他三个的阶高， （A）x2 （B）1cosx （C）112x （D）x tanx 【例例 7】当 x
