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1、4-6 Discrete Fourier Transform（DFT）4-6 Discrete Fourier Transform（DFT）4. 6. 1 Make a signal discrete and periodical Sampling to make the signal discrete Make the signal periodical: ?If xn is a limited length N-point sequence, see it as one period of a periodical signal that means extend it to a peri
2、odical?If xn is an infinite length sequence, cut-off its tail to make a N-point sequence, then do the periodic extending. The tail cutting-off will introduce distortion. We must develop truncation algorithm to reduce the error, which is windowing.4. 6. 1 Make a signal discrete and periodicalx(t)X(j)
3、P(j)00=2/TsxnTX(j)q(t)TFTDFTDTFTQ(j)00= 2/TQ(j)00= 2/TP(t)Ts462 Definition of DFT一个能量有限，时间长度为L的有限长序列其DTFT为一个能量有限，时间长度为L的有限长序列其DTFT为njLnenxX10)()(=现将现将频率离散化，即以频率离散化，即以 =k k0 0=k2=k2N N 代入上式，代入上式，( (0 0为频为频 域采样间隔，域采样间隔，N N 为一个周期的样点数为一个周期的样点数) ) 得:得:NnjkLnenxNkX/ 210)()2(=k=0, 1, k=0, 1, , N-1, N-14-6
4、Discrete Fourier Transform（DFT）NnjkLnenxNkX/210)()2(=k=0, 1, k=0, 1, , N-1, N-1设设 L LN N，则有，则有 x(n)x(n)0 0，n nL L 。当频率样点数。当频率样点数 N N 已知，已知， 2 2N N 为定数，故上式又可改写成为定数，故上式又可改写成NnjkNnenxkX/210)()(=k=0, 1, k=0, 1, , N-1, N-1上式称为有限长序列上式称为有限长序列x(n)x(n)的离散傅里叶变换的离散傅里叶变换(DFT)(DFT)。DFT又可以看作以又可以看作以 x(n)x(n)为一个周期，
5、进行周期延拓后所形成为一个周期，进行周期延拓后所形成 的周期序列的周期序列x xp p(n)(n)的离散频谱，在一个周期的取值再乘以的离散频谱，在一个周期的取值再乘以N N。它的逆变换（IDFT）为：它的逆变换（IDFT）为： NnkjNkekXNnx/210)(1)(=n=0, 1, n=0, 1, , N-1, N-1以上称为离散傅立叶变换对。以上称为离散傅立叶变换对。)k(XDFT)n(xNnjkNnenxkX/210)()(=k=0, 1, k=0, 1, , N-1, N-1NnkjNkekXNnx/210)(1)(=利用离散傅里叶变换对，从信号时域的样点求频谱利用离散傅里叶变换对，
6、从信号时域的样点求频谱 的样值或从频域的样点求时间的样值，应满足采样的样值或从频域的样点求时间的样值，应满足采样 定理。因此时域样点定理。因此时域样点x(n)x(n)的总数的总数 L L 应取小于或最应取小于或最 大等于频域样点大等于频域样点 X(k)X(k)的总数的总数N N ，即，即 L LN N，否则由，否则由 于频域采样的结果使于频域采样的结果使 x(n)x(n)所形成的周期重复的序所形成的周期重复的序 列将出现时域混叠，无法恢复原来的序列。列将出现时域混叠，无法恢复原来的序列。例例: 序列长度序列长度 L 小于采样点数小于采样点数 NDTFT连续连续周期化周期化采样采样No time
7、 aliasingLNDTFTDTFTDTFTDTFT采样的图解说明采样的图解说明采样的图解说明采样的图解说明例例: 序列长度序列长度 L 大于采样点数大于采样点数 NDTFT连续连续周期化周期化采样采样Time aliasingL NDTFTDTFTDTFTDTFT采样的图解说明采样的图解说明采样的图解说明采样的图解说明463 实际中时域采样间隔与采样长度的确定实际中时域采样间隔与采样长度的确定在图形中找出变化速度最快的相邻两个点，如a与b，并假设两在图形中找出变化速度最快的相邻两个点，如a与b，并假设两 点峰、谷之间的时间间隔近似等于最高频率的半个周期，即点峰、谷之间的时间间隔近似等于最高
8、频率的半个周期，即 t td dTTm m/2/2, , 则有则有f fm m=1T=1Tm m1/(2t1/(2td d) )。选取。选取f fs s（25-3）f（25-3）fm m作作 为采样间隔的试验值，通过实验对再作适当修改，直到混叠现为采样间隔的试验值，通过实验对再作适当修改，直到混叠现 象较小为止。即象较小为止。即dd sst8 .0t5 .2 2 f1T=若信号的频谱为无限宽，则可选取占信号总能量若信号的频谱为无限宽，则可选取占信号总能量98%98%左右的频左右的频 带宽度带宽度(一f(一fm m，f，fm m) )作为它的最高频率。作为它的最高频率。在工程实际中采样率的确定，
9、除了主要受待处理信号的频谱约在工程实际中采样率的确定，除了主要受待处理信号的频谱约 束外，还与模数转换器(AD)允许的误差和系统所采用的硬件束外，还与模数转换器(AD)允许的误差和系统所采用的硬件 速度有关，需要它们从技术上和经济上互相匹配，综合考虑。速度有关，需要它们从技术上和经济上互相匹配，综合考虑。一个时间有限的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信一个时间有限的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信 号其频带宽度则为有限。因此对一个时间有限的信号，应用号其频带宽度则为有限。因此对一个时间有限的信号，应用 DFT进行分析，频谱混叠难以避免。对一个时间无限的信号虽DFT进行分析，频谱混叠难
10、以避免。对一个时间无限的信号虽 然频带有限，但在实际运算中，时间长度总是取有限值，所然频带有限，但在实际运算中，时间长度总是取有限值，所 以频谱泄漏难以避免。以频谱泄漏难以避免。在时域将信号截短，相当于将信号在时域将信号截短，相当于将信号x(t)x(t)乘以具有一定宽度乘以具有一定宽度T T0 0 的窗函数的窗函数w wR R(t)(t)。已知：已知：jX+=11)(2/0 000000 2)()(TjTtjTtj RReTSaTdtedtetwW=故得：故得：)2()11(21)(2/0 00Tj WeTSaTjX +=)1 (1100TjTeej +=例：例：考察信号考察信号x(t)x(t
11、)e e-t-tu(t)u(t)设截短后的信号为：设截短后的信号为：x xW W(t)(t)x(t)wx(t)wR R(t)(t)根据傅立叶变换的频域卷积性质有：根据傅立叶变换的频域卷积性质有：)()(21)(RWWXX=频谱泄漏对非周期信号频谱分析的影响频谱泄漏对非周期信号频谱分析的影响例例 已知一模拟信号已知一模拟信号x(t)ex(t)e-t-tu(t),u(t),现以采样频率现以采样频率fs=20Hzfs=20Hz 进行采样。试利用DFT分别计算当序列长度进行采样。试利用DFT分别计算当序列长度1、1、LL 100 100 ；2、；2、L20L20时，N=时，N=200200点的幅度频谱
12、样值，并通过作点的幅度频谱样值，并通过作 图与理论上准确的频谱样值进行比较。图与理论上准确的频谱样值进行比较。解：已知原信号频谱为解：已知原信号频谱为jX+=11)(相应的幅度频谱为相应的幅度频谱为211|)(| +=X信号截短长度不同，产生不同的泄漏误差信号截短长度不同，产生不同的泄漏误差464 实际中频域采样间隔实际中频域采样间隔 F F0 0与采样长度与采样长度 N N的确定的确定在在T T不变情况下，不变情况下，F F0 0与与N N成反比，即成反比，即这说明频域采样长度或样点数这说明频域采样长度或样点数 N N 增加(含时城样点)，增加(含时城样点)，F F0 0 减减 小，频率分辨
13、力增加。反之，小，频率分辨力增加。反之，N N 小，小，F F0 0 大，频率分辨力下大，频率分辨力下 降。所以采样长度降。所以采样长度 N N 可以根据实际中对频率分辨力的要求选可以根据实际中对频率分辨力的要求选 取适当的数值。取适当的数值。在利用DFT作频谱分析时，为了避免在时域出现波形混叠，必在利用DFT作频谱分析时，为了避免在时域出现波形混叠，必 须要求频域的采样长度大于或等于时域采样长度，即NL，须要求频域的采样长度大于或等于时域采样长度，即NL， 常用的取NL。当在时域观测到的样点数较少且LN，为了常用的取NL。当在时域观测到的样点数较少且LN，为了 提高频谱分析精度，可采用在时域
14、补零的办法使LN。提高频谱分析精度，可采用在时域补零的办法使LN。能够感受的频谱最小间隔值，称为频谱分辨力，一般表示为能够感受的频谱最小间隔值，称为频谱分辨力，一般表示为 FF0 0 。若采样周期为。若采样周期为T T，采样点数为，采样点数为N N，则有：，则有：FF0 0 = 1 / （ = 1 / （ N N T ) T )464 实际中频域采样间隔实际中频域采样间隔 F F0 0与采样长度与采样长度 N N的确定的确定若序列样点数若序列样点数 N N （有时条件限制，不能再多）是给定（有时条件限制，不能再多）是给定 的，则的，则DFTDFT的频率分辨率的频率分辨率F F0 0 与原信号的
15、最高频率与原信号的最高频率FmFm之间存在矛之间存在矛 盾，即在增加盾，即在增加Fm Fm （能分析的信号带宽增加）时，则频率分辨（能分析的信号带宽增加）时，则频率分辨 率率F F0 0必须增加，而这又将导致频率分辨率必须增加，而这又将导致频率分辨率F F0 0下降。反之，如提下降。反之，如提 高频率分辨率（即减小高频率分辨率（即减小F F0 0），则），则Fm Fm 必须降低，也就是能分析必须降低，也就是能分析 的信号带宽减小了。的信号带宽减小了。F Fs s 2 2 F Fm mN N 2 F2 Fm / Fm / F0 0N FN F0 0=F=Fs s混叠混叠信号的离散化信号的离散化泄露泄露信号的截断信号的截断栅栏效应：栅栏效应：对非周期信号来说，理论上应当具有连续的频谱，对非周期信号来说，理论上应当具有连续的频谱， 但数字谱分析是用DFT来近似，是但数字谱分析是用DFT来近似，是用频谱的抽样值逼近连续频用频谱的抽样值逼近连续频 谱值谱值，因此只能观察到有限(N)个频谱值，而每一间隔中的频，因此只能观察到有限(N)个频谱值，而每一间隔中的频 谱就观察不到了，如同通过谱就观察不到了，如同通过“栅栏栅栏”观察景物一样，一部分景物观察景物一样，一部分景物 被被“栅栏栅
