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1、2010-7-30理学院 施三支第六章鞅第六章鞅6.1 鞅的基本概念鞅的基本概念6.2 鞅的停时定理鞅的停时定理6.3 一致可积性一致可积性6.4 鞅收敛定理鞅收敛定理6.5 连续鞅连续鞅2010-7-30理学院 施三支6.1 鞅的基本概念鞅的基本概念一、鞅的定义及性质一、鞅的定义及性质定义定义6.1.1对任意0n，有 （1） |nXE（2）nnnXXXXE),|(01则称nX为 离散鞅序列简称为鞅nX若随机序列,n=0,1,2,2010-7-30理学院 施三支注无后效性鞅的直观背景解释设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n年的赌本为表示在已知前n年的赌本的条件下，第n+1年的平均赌本。而鞅则表示
2、这种赌博使第n+1年的平均赌本仍为第n年的赌本，这种赌博称为公平赌博。如果nX为鞅，则它有某种即当已知时刻 n 以及它以前的值nXX,0，那 么 n+1 时 刻 的 值1nX对nXX,0的 条 件 期 望与时刻 n 以前的值10,nXX无关，并且等于nXnX),|(01nnXXXEnXX,0nnnXXXXE),|(012010-7-30理学院 施三支定义定义6.1.2对任意0n，有 （1）|nE X （2）简称为鞅设nX及nY，, 2 , 1 , 0n，为两个随机序列， nX是nYY，0的函数； （3）nnnXYYXE),|(01则称nX关于nY为鞅， nX2010-7-30理学院 施三支nX
3、关于nY是鞅的充要条件为， 定理定理6.1.1对任意非负整数 m，n（nm ）有 nnmXYYXE),|(0（1）2010-7-30理学院 施三支性质性质1常数序列为鞅,性质性质2即nc其中ccn若nX为鞅，则对任意0n，有0EXEXnnX的数学期望nEX是一常数0EX2010-7-30理学院 施三支例例6.1.1令且对任意有且对任意有设nY（, 2 , 1 , 0n）为独立随机序列，00Y0,nnk kXY0nEY0n则nX关于nY是鞅2010-7-30理学院 施三支例例6.1.2波利亚（Polya）坛子抽样模型令令Mn表示第表示第n次抽取后红球所占比例，则，并且次抽取后红球所占比例，则，并
4、且Mn是个鞅。是个鞅。2nXMn n2| 11nkkXkXPnn考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初坛子中装有红黄两色各一球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红色的球，则放回的同时再加入一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样做法。以Xn表示 第n次抽取后坛子中的红球数，则 X0 =1 ， Xn是一个非时齐的马氏链，转移概率为22|1nknkXkXPnn2010-7-30理学院 施三支定义定义6.1.3对任意0n，有（1） |nXE（2）设nX及nY，, 2 , 1 , 0n，为两个随机序列，nX是nYY， 0的函数；（3）简称为上鞅nX二、上、下鞅的定义及性质二、上、下
5、鞅的定义及性质nnnXYYXE),|(01则称nX关于nY为上鞅类似类似下鞅nnnXYYXE),|(012010-7-30理学院 施三支关于上、下鞅的直观解释：上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本亏本赌博；下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利盈利赌博。性质3为鞅的充分必要条件是，既为上鞅也为下鞅。性质4上鞅nXnXnX下鞅nX下鞅nX上鞅nX2010-7-30理学院 施三支6.2 鞅的停时定理鞅的停时定理定义定义6.2.1设nY（, 2 , 1 , 0n）是一随机序列， 是取值 0，1，的一个随机变量， 若对任
6、意0n， 事件n由nYY,0决定， 意即只从nYY,0的知识判别n与否， 则称关于nY为停时， 简称为停时2010-7-30理学院 施三支停时的直观背景解释：设想赌徒在前n+1次赌博的赌本为，那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。停时的性质表示这一事件只依赖于n时刻以前（包括n时刻）的赌本，而与将来的赌本无关，即赌徒在时刻n是否停止赌博，只依赖于他过去的经历，而与尚未见到的将来情况无关。nYY,0n ,1nY2010-7-30理学院 施三支（1）（2）（3）关于nY为停时 其它,0, 1),(0nYYIInnn 其它,0, 1),(0nYYIInnn定理定理6.2.1设是取值0，1，的一
7、个随机变量，nY是随机序列下列命题等价：0n2010-7-30理学院 施三支例例6.2.1设(k k为一常数），则 为停时。 令例例6.2.2即为首次进入A的时刻，则是停时。设 A 为nY的状态空间 T 的一个子集， min)(AYnAn： )(A)(A注若令为最后进入A的时刻，则不是停时。)(A)(A2010-7-30理学院 施三支定理定理6.2.2设,210MMM是一个关于),(10nnXXXF的鞅，T是停时，满足 。）（0)|(|lim3|nTnnIME; 1) 1 (TP;|)(|)2(TME)()(0MEMET返回返回（鞅停时定理）（鞅停时定理）则有则有2010-7-30理学院 施三
8、支6.3 一致可积性一致可积性使得对任意A，当时，对成立，则称这列随机变量是一致可积一致可积的。)|(|AnIXE如果存在常数Cn，由停时定理，aMMEnTm)(P1072010-7-30理学院 施三支同样的讨论可以得到，如果这一比例确实超过b了，再次回降到a以下的概率最大为，n个来回的概率为 ab 11但是)()(|mTTTIMEME mm)(|mTTIME)(mTPb从而bamTP )(由m(n)的任意性，知baTP )(这说明至少以的概率红球的比例永远不会超过b，ba1)( , 011 11 11 nab ba ab ba ba ab bann 2010-7-30理学院 施三支定理定理6
9、.4.1(鞅收敛定理鞅收敛定理)设是一个关于的鞅, 并且存在常数C,10XX,10WW使得对任意n成立，则当 n 时，收敛到。CMEn|)(|nMM即存在，记为nnM lim由Mn的概率1, 2 , 1,11)()2(nknkXPnkMPnnM知，M服从0,1上的均匀分布。2010-7-30理学院 施三支6.5 连续鞅连续鞅一、定义一、定义设表示观测时间t为连续时间随机过程，表示随时间流逝可得到的一系列信息集信息集满足, 0 ,tSt, 0,tIt若TtsTtsIII则称集合, 0,TtIt为过滤过滤如果的值在每一时包含于信息集中，tS0ttI, 0 ,tSt, 0,tIt则称适应适应于于即表
10、示给出信息集，就会知道价值tItS定义定义6.5.12010-7-30理学院 施三支从而从而信息集为和概率为 P tI设是一个随机过程，, 0 ,tSt使用不同的信息集就会产生顺序的不同的预期。可用条件期望表示成：可用条件期望表示成：tItSTtISESEtTTt,如果对所有0t，有 （1）给定tI时，tS可知 （2）期望是有限的，即tSE （3）如果tTtSSE，对于所有Tt 有概率 1 称过程是鞅, 0,tSt即未被观测的未来价值的最好预测是的最近观测tS（鞅）（鞅）定义定义6.5.22010-7-30理学院 施三支鞅过程的基本特征鞅是在给定当前信息集时，未来变化完全不可测的随机变量。鞅的
11、未来变化的方向是不可能预测的。换句话例如设是一个鞅tS则在长度为0u的间隔内tS变化的预期：ttutttuttSESESSE0ttSS即在一给定区间0u，tS变化的最好的预期是0反之如果一个过程的轨迹呈现出一个可识别的长期或短期趋向，则这个过程不是鞅。2010-7-30理学院 施三支鞅过程 重要特征一个鞅的定义是考虑信息集和一些概率标准，如果改变与过程有关的信息集和概率，这个过程就不再是鞅。若一过程不是鞅，就能通过修改相关的概率标准P并且使称为鞅。二、鞅在资产定价方面的应用二、鞅在资产定价方面的应用反之有tXtX1通常贴现债券的价格随时间而增加，平均起来是上涨如果tB代表在时间T到期的贴现债券
12、的价格Tt 则有,ttuBEB,tuT债券的价格即贴现债券价格的运动不是鞅2010-7-30理学院 施三支2通常一风险股票会有一正的期望收益。股票价格即风险股票不是鞅对于一小间隔可大体写成tttSSE3期权期权有时间价值，并且随时间流逝欧式期权价格会下降。故也不是鞅。其中是一个正的期望收益率2010-7-30理学院 施三支尽管大多数金融资产不是鞅，但可以把它们转化成鞅4下鞅转化成鞅方法第一种这是围绕趋向的偏离完全不可测，只要减去期望趋向，变形的变量即是鞅。道布迈耶分解在一些普通条件下，一任意的连续时间过程能被分解成一个鞅和一个增长（或下降）过程，后部分的消除即可产生鞅。第二种找一个与给定的概率
13、P等价的概率，计算新的条件期望，使其成为一个鞅。P2010-7-30理学院 施三支布朗运动布朗运动例例6.5.1即若增量相互独立，设tX是一连续过程，其tX增量服从正态分布tX),(2NtX0)(tuXXE则有问是鞅吗？tX三、举例三、举例2010-7-30理学院 施三支由于由于即则在给出的概率分布以及到时间 t 观察到的信息的期望故不是鞅。tX过程tX是无穷小增量tdX的累积 TtuTtdXXX 00TttuttTttdXXEXETttutttdXEXEtTtttXXEX TtttXEXTXttX2010-7-30理学院 施三支说明说明1若做新过程则是一个鞅。tXZtttZ因为因为)(TtX
14、EZETttTtt)()(TtXXXEtTttt)(TtXXEXtTttt )(TtTXttXttZ则是一个鞅。则是一个鞅。tZ2010-7-30理学院 施三支此为此为指数过程指数过程说明说明2考虑变换考虑变换2exp2 tXStt其中是任意实数，tX的均值是 0则此转换能将变成鞅，则此转换能将变成鞅，tX即是鞅。tS2010-7-30理学院 施三支平方过程平方过程例例6.5.2初始点为初始点为令令问是鞅吗？考虑一个在小间隔内有不相关增量的过程tS： tS), 0(2N00S2 ttSZ 解给一间隔，考虑tZ增量的预期 ttZE tZtZtZ2010-7-30理学院 施三支这说明的增量是可测的，故不是鞅。可将转换成是鞅。说明ttZE)(22 tttttSSSSE22 tttSSE2tttSSE2tZYtt2tZYEtTtt2若令则tY2ttSE tSD tZtZtZ作业：1. P124 2,72. 写本章小结作业：1. P124 2,72. 写本章小结
