拓扑学的思想方法在中学数学解题中的应用

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1、） ，拓扑学的思想方法在中学数学解题中的应用潘干董骏 江苏南京 210000）（南京师范大学数学科学学院1. 同胚变换哥尼斯堡七桥问题 设 A 和 B 是两个拓扑空间，如果存在一个映射 f，构成 A 到 B 的双射， 且 f 和 f-1 都是连续的， 则称 A 和 B 是同胚的。 “在几何上看，同胚的定义表明拓扑空间中的两个曲面 A 和 B 可以由其中的一个连续不断地变化成为另一个。在变化 过程中不允许“断裂”和“粘贴” 。因为断裂破坏连续性 ； 粘 贴则破坏一对一的要求。通俗地说，橡皮筋或橡皮膜的伸缩 变形就是一种同胚变换。 ”1 拓扑学非常重视研究同胚变换下的不变性质，著名的哥 尼斯堡七桥

2、问题就是同胚变换的经典应用。 例 1（哥尼斯堡七桥问题）哥尼斯堡城位于北欧，布 勒格尔河流经市区，河中有两个小岛。如下图所示（如图 A 和 D 区域） 。小岛与河岸有七桥相连。人们长期思考一个有 趣的问题 ： 一个游人能不能不重复、也不遗漏地一次走遍这 七座桥而回到出发地？欧拉在 1736 年解决了这个问题，并在 彼得堡科学院作了一个科学报告，同时也开创了几何拓扑这 一新的数学分支。考虑最简单的情况，以多面体 ABCD 为例，将它的一个 面 BCD 去掉，再使它变形为平面图形。图（一） 这样这个四面体的顶点数 V，棱长数 E 都没有发生变换。 因此，要研究 V、E、F 之间的关系只要研究平面图

3、形即可。 下面研究 V+F1-E 的数值结果。 （1）去掉一条棱，就减少一个面。例如去掉 BC 就减少 一个面 ABC。同样的，去掉 CD、BD 也会减少一个面 ACD 和 ABD。 由于 F1-E 和 V 都没有发生改变。因此 V+F1-E 的结果不 发生变化。BA DC图（1）图（2） 解七桥问题，第一步是要将地形地图化简，将 A、B、C、 D 四个区域分别看成四个点，七座桥分别看成七条线。我们 只关注四点间这七条线的连接情 况，与线的长度、线与线之间的 夹角没有任何关系。于是可以将 地图表示成图 （2） 和图 （3） 。 （2 与（3）两图在拓扑上是同胚的 虽然各线间的距离和角度都变 了

4、，但连结情况没变，换句话说图（二） （2）再将剩下的树状图去棱，每去掉一条棱就会减少一 个顶点。如果去掉棱 AD，就将减少顶点 D ； 去掉棱 AC 就将 减少顶点 C。最后只剩下 AB。 （图（三） ） ， 在这个过程中，V-E 的值都没有发生，并且面数 F1 一直是 0。因此 V+F1-E 的结 果也不变。图（3）“岛的大小和形状以及桥的长度 都无关紧要，而相互间的连结关系才是问题的关键”2 2. 橡皮膜上的拓扑学多面体的 Euler 定理 拓扑学有一个重要的概念，即拓扑变换。中学数学中关 于多面体的 Euler 定理就可以借助于特殊的拓扑变换来证明。 例 2 简单多面体的顶点数 V、棱数

5、 E、面数 F 有下面 的关系 ： V+F-E=2 对于简单多面体这个概念，中学课本作了较为直观的解 释 ： 一个正六面体，假想它的面是香蕉薄膜做成的，如果充 以气体，那么它就会连续（不破裂）变形。最后可变成一个 球面。而可以这样表面连续变形，可变形为球面的多面体叫 做简单多面体。2“稍加分析即可看出，这个定理的结论丝 毫不涉及多面体中棱的长度、角的大小以及面积的大小之类 的度量性质。它只涉及到多面体的顶点个数、棱的条数以及 面的个数三者之间的一种关系，而且这个结论显然是在任意 的拓扑变换之下都不改变的。3 下面利用拓扑变换的思想给出 Euler 定理的一个简单证 明 ： 图（三） 此时由于只

6、剩下 AB，因此有 ； V+F1-E=2+0-1=1 而 F 变成 F1 时，我们去掉了 BCD 这个面，故再加上 BCD 有 ： V+F-E=1+1=2 对于任意的多面体，都可以先去掉一个面，再利用拓扑 变换变成平面，然后再去掉棱去边的办法完成证明。于是多 面体的 Euler 定理得到证明。 由此可见，拓扑学虽然在中学阶段难以理解，但其中所 蕴含的一些基础的且重要的思想方法对于中学数学（转下页） 214 【摘 要】拓扑学是现代数学的核心内容之一，其关于整体结构的研究是更为深刻的一个研究层次。本文将主要研究拓扑 学的一些经典问题中蕴含的数学思想方法对中学数学的指导意义。 【关键词】拓扑学 哥尼

7、斯堡七桥问题 Euler 定理2015年 第5期读写算数学教育研究解一元一次方程中不应忽略的几个问题刘文军（新疆叶城县第二中学 新疆叶城 844900）， 括号前面的符号。移项时，七年级的学生在学习解一元一次方程时，往往会出现不 同程度的错误，不是这出错就是那出错，求不出正确的解。 致使许多学生觉得不太容易正确求出一元一次方程的解。而 解一元一次方程这一章是七年级教学的一个重点章节，也是 培养学生的运算能力和细心能力的一章。同时也是为今后学 习解一元二次方程、二元一次方程组打下基础。学生之所以 不能正确的解出一元一次方程的解，我认为究其原因是因为 在解一元一次方程中，在去分母、去括号、移项、合

8、并同类 项、 系数化为1， 这五步中， 每一步都有学生容易出错的地方， 而这些地方往往也是学生容易忽略的地方，所以学生容易做 错题。因此在解一元一次方程时我们不应该忽略了以下几个 方面 ： 一、去分母时，不应忽略分子是多项式时要带上括号， 而不是直接乘。五、合并同类项时，不应忽略两个同类项的系数都是负 数时漏了负号。 如 ： -4x-2=3+x 【错解】 ： 移项得 ： 合并同类项得 ： 【正解】 ： 移项得 ： 合并同类项得 ：-4x-x=3+2 5x=5 -4x-x=3+2 -5x=5 六、系数化为 1 时，不应忽略是用常数项去除以未知数 的系数，而不是用未知数的系数去除以常数项。如 x

9、= 2 x + 15【错解】 ： 移项得 ： x + 2 x = 15 合并同类项得 ： 3 x = 1 5y 1 = 2 y +2如 ： 23 1系数化为1 得 ：x = 55【错解】 ： 方程两边同乘以10 得 ： 5y-1=20-2y+2 【正解】 ： 方程两边同乘以10 得 ： 5（y-1）=20-2（y+2） 二、去分母时，不应忽略用所有分母的最小公倍数去乘 以所有的项，不能漏乘任何一项（特别是不带分母的项也要 乘） 。【正解】 ： 移项得 ： x + 2 x = 15 3合并同类项得 ： x = 1 5 5系数化为1 得 ：x = 2 x +5 = x x 33如 ： 七、系数化为

10、 1 时，不应忽略未知数前的系数及常数项 的符号，特别是未知数前的系数是负数时，在做除时不要忘 了把符号也一起带上。 如 ： -4x+3=2x+5 【错解】移项得 ： -4x-2x=5-3 合并同类项得 ： -6x=2系数化为1 得 ：x = 13 【正解】移项得 ： -4x-2x=5-3 合并同类项得 ： -6x=263 【错解】 ： 两边乘以6 得 ： 2-（x+5）=x-2（x-3） 【正解】 ： 两边乘以6 得 ： 12-（x+5）=6x-2（x-3） 三、去括号时，不应忽略括号前面的符号和因数，特别 是括号外面是负因数时，去掉括号，括号里的每一项都要乘 以这个负因数并改变括号里每一项

11、的符号，而不是第一项改 变符号，后面的其它项不改变符号。 如3（x-2）+1=x-2（2x-1） 【错解】 ： 去括号得 ： 3x-6+1=x-4x-1 【正解】 ： 去括号得 ： 3x-6+1=x-4x+2 四、移项时，不应忽略移的项要变号，不移的项不变号， 而不是移的变，不移的也变。 如 ： 2-3.5x=4.5x-1 【错解】 ： 移项得 ： 3.5x+4.5x=-1+2 【正解】 ： 移项得 ： -3.5x-4.5x=-1-21系数化为1 得 ：x= 3总之，在解一元一次方程中只要注意不忽略这几个问题， 我想一定能正确的求出解，使求出一元一次方程的解变容易。（接上页） 的学习还是有着很

12、积极的意义。教师应该高瞻远瞩， 从高等数学中挖掘出最基本的思想方法用于教学，这样做一 方面有利于教师本身更深刻地了解有关知识，促进教学，另 一方面也向学生提供了相关数学史的知识背景，有利于提高 其学习兴趣。事实上，如果在数学教学中，适当渗透数学史 教育，对学生的心灵成长、价值观念以及世界观等方面都会 产生重要影响，体现了数学的人文价值。要让学生感觉到那 些经典的数学问题不是束之高阁的，而是与自己的实际学习 密切相关，是可以运用的。出版社，1990：323 2刘云章，马复.中学数学的现代思想M.北京：人民教育出 版社，1986：243 3顾广林.课堂教学中数学文化教育价值的挖掘J.中国数学 教育

13、，2010，（11）：2-5 作者简介：潘干（1992.11-），男，江苏盐城人，南京师 范大学数学科学学院2013级硕士研究生，数学教育专业， 研究方向：竞赛数学（南京师范大学数学科学学院江苏南京 210000）。 董骏（1990.8-），男，浙江余姚人，南京师范大学数学科 学学院2013级硕士研究生，数学教育专业，研究方向：大学 数学教育（南京师范大学数学科学学院江苏南京210000）。参考文献 1张奠宙，邹一心.现代数学与中学数学M.上海：上海教育 215 【摘要】七年级的学生在学习解一元一次方程时，往往会出现不同程度的错误，究其原因是因为在解一元一次方程中 我们忽略了去分母时， 分子是多项式时要带上括号， 分母的最小公倍数去乘以所有的项。去括号时， 移的项要变号，不移的项不变号。合并同类项时，两个同类项的系数都是负数。系数化为 1 时，未知数系数及常数项的符号。 【关键词】解一元一次方程 不应忽略 符号