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1、第 1 页 共 5 页平洲高中高一数学必修平洲高中高一数学必修 1 各章知识点总结各章知识点总结 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一、集合有关概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；元素的确定性； 2.元素的互异性；元素的互异性； 3.元素的无序性元素的无序性 说明：说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。对于一个给定
2、的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。集合元素的三个特性使集合本身具有了确
3、定性和整体性。 3、集合的表示：、集合的表示： 如如我校的篮球队员我校的篮球队员，太平洋太平洋,大西洋大西洋,印度洋印度洋,北冰洋北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法：注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）非负整数集（即自然数集） 记作：记作：N 正整数集正整数集 N*或或 N+ 整数集整数集 Z 有理数集有理数集 Q 实数集实数集 R 关于关于“属于属于”的概念的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：集合
4、的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合是集合 A 的元素，就说的元素，就说 a 属于集合属于集合 A 记作记作 aA ，相反，相反，a 不属于集合不属于集合 A 记作记作 a A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法：例：语言描述法：例：不是直角三角形的三角形不
5、是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是的解集是x R| x-32或或x| x-32 4、集合的分类：、集合的分类： 1有限集有限集 含有有限个元素的集合含有有限个元素的集合 2无限集无限集 含有无限个元素的集合含有无限个元素的集合 3空集空集 不含任何元素的集合不含任何元素的集合 例：例：x|x2=5 二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系 1.“包含包含”关系关系子集子集注意：注意：有两种可能（有两种可能（1）A 是是 B 的一部分，的一部分， ；（；（2）A 与与 B 是同一集合。是同一集合。BA 反之反之: 集合集合 A 不包含于
6、集合不包含于集合 B,或集合或集合 B 不包含集合不包含集合 A,记作记作 AB 或或 BA 2 “相等相等”关系关系(55，且，且 55，则，则 5=5) 实例：设实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同元素相同” 结论：对于两个集合结论：对于两个集合 A 与与 B，如果集合，如果集合 A 的任何一个元素都是集合的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时的元素，同时,集合集合 B 的任何一个元素都是集合的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合的元素，我们就说集合 A 等于等于 集合集合 B，即：，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。任何一个集合是它本身的子集。A A
7、真子集真子集:如果如果 A B,且且 A B 那就说集合那就说集合 A 是集合是集合 B 的真子集，记作的真子集，记作 AB(或或 BA) 如果如果 A B, B C ,那么那么 A C 如果如果 A B 同时同时 B A 那么那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算三、集合的运算 1交集的定义：一般地，由所有属于交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于且属于 B 的元素所组成的集合的元素所组成的集合,叫做叫做 A,B
8、 的交集的交集 记作记作 AB(读作读作A 交交 B)，即，即 AB=x|xA，且，且 xB 2 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A A 或属于集合或属于集合 B B 的元素所组成的集合，叫做的元素所组成的集合，叫做 A,BA,B 的并集。记作：的并集。记作：AB(AB(读作读作A A 并并 B B) )，即，即 AB=x|xAAB=x|xA， 或或 xBxB 3、交集与并集的性质：、交集与并集的性质：AAAA = = A,A, A=A= , ABAB = = BABA，AAAA = = A,A, A=A= A A ,AB,AB = = BA.BA.
9、 4、全集与补集、全集与补集（1）补集：设）补集：设 S 是一个集合，是一个集合，A 是是 S 的一个子集（即的一个子集（即SA ） ，由，由 S 中所有不属于中所有不属于 A 的元素组成的元素组成的集合，叫做的集合，叫做 S 中中 子集子集 A 的补集（或余集）的补集（或余集） 记作：记作： CSA 即即 CSA =x x S 且且 x A （2）全集：如果集合）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用通常用 U 来表示。来表示。 （3）性质：）性质：CU(C UA)=A (
10、C UA)A= (CUA)A=U二、函数的有关概念二、函数的有关概念 1函数的概念：设函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合，使对于集合 A 中的任意一中的任意一个数个数 x，在集合，在集合 B 中中 都有唯一确定的数都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称 f：AB 为从集合为从集合 A 到集合到集合 B 的一个函数记作：的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，其中，x 叫做自变量，叫做自变量，x 的取值范围的取值范围 A 叫做函数的定义域；与叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的的值相
11、对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域叫做函数的值域 注意：注意：如果只给出解析式如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写函数的定义域、值域要写 2 2 3 3 成集合或区间的形式成集合或区间的形式 定义域补充定义域补充 能使函数式有意义的实数能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时
12、列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方偶次方根的被开方 数不小于零；数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那那 么，它的定义域是使各部分都有意义的么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义实际问题中
13、的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域SCsAA第 2 页 共 5 页再注意：（再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系 完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） （2）两个
14、函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无 关。关。相同函数的判断方法相同函数的判断方法：表达式相同；表达式相同；定义域一致定义域一致 (两点必须同时具备两点必须同时具备) (见课本见课本 21 页相关例页相关例 2) 值域补充值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数应熟悉掌握一次函数、
15、二次函数、指数、对数 函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的中的 x 为横坐标，函数值为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点为纵坐标的点 P(x，y)的集合的集合 C，叫做函数，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象的图象 C 上每一点的坐标上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点为坐标的点(x，y)，均在，均在 C 上上 . 即记为即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线一般的是一条光滑的连续曲线(或直线或直线),也可能是由与任意平行与也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法画法 A、描点法：根据函
