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1、北北 京京 四四 中中 编 稿：李 岩 审 稿：谷 丹 责 编：严春梅直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系已知圆已知圆 C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，直线，直线 L：Ax+By+C=01位置关系的判定：位置关系的判定：判定方法判定方法 1：联立方程组 得到关于 x(或 y)的方程(1)0相交；(2)=0相切；(3)r相离。例例 1、判断直线 L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0 与圆 O：x2+y2=9 的位置关系。法一：法一：直线 L：m(x-y+2)+x+y-1=0 恒过点 ，点 P 在圆 O 内，直线 L 与圆 O 相交。法二：法二：圆心 O 到直线 L 的距离为
2、 当 d0 mR所以直线 L 与直线 O 相交。法三：法三：联立方程，消去 y 得 2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)当 m1 时，0，直线与圆相交；当 m=1 时，直线 L： ，此时直线 L 与圆 O 相交综上得直线 L 与圆 O 恒相交。评评法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。例例 2、求圆 x2+y2=1 上的点到直线 3x+4y=25 的距离的最大最小值法一：法一：设 P(co
3、s，sin)为圆上一点，则点 P 到直线的距离为= 当 时，dmin=4.法二：法二：如图，直线 L 过圆心，且与直线 3x+4y=25 垂直于点 M， 此时，l 与圆有两个交点A、B，原点到直线 3x+4y=25 的距离|OM|=5，圆上的点到直线 3x+4y=25 的距离的最大值为：|AM|=|OM|+r=5+1=6最小值为：|BM|=|OM|-r=5-1=4评评法二是几何做法，充分体现了它计算量小的优势。2切线问题：切线问题：例例 3：(1)已知点 P(x0，y0)是圆 C：x2+y2=r2上一点，求过点 P 的圆 C 的切线方程；(x0x+y0y=r2)法一：法一：点 P(x0，y0)
4、是圆 C：x2+y2=r2上一点， 当 x00 且 y00 时， 切线方程为 当 P 为(0，r)时，切线方程为 y=r，满足方程(1)；当 P 为(0，-r)时，切线方程为 t=-r，满足方程(1)；当 P 为(r，0)时，切线方程为 x=r，满足方程(1)；当 P 为(-r，0)时，切线方程为 x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为 x0x+y0y=r2法二：法二：设 M(x，y)为所求切线上除 P 点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即 x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2x0x+y0y=r2且 P(x0，y0)满足上面的方程。综上，所求切线方程
5、为 x0x+y0y=r2。(2)已知圆 O：x2+y2=16，求过点 P(4,6)的圆的切线 PT 的方程。解：当 PT 方程为 x=4 时，为圆 O 的切线，满足题意：设 PT 的方程为 y-6=k(x-4)，即 kx-y-4k+6=0则圆心 O 到 PT 的距离为 所以 PT 的方程为 综上，切线 PT 的方程为 x=4，5x-12y+52=0评评(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。例例 4、求过下列各点的圆 C：x2+y2-2x+4y-4=0 的切线方程：(1
6、) ； （2） B(4，5)解：(1)圆 C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心 C(1，-2)，r=3，且点 A 在圆 C 上，法一：法一：设切线方程为 ，则圆心到切线的距离为，所求切线方程为 法二：法二：ACl， 所求切线方程为 (2)点 B 在圆外，所以过 B 点的切线有两条设切线方程为 y=k(x-4)+5，则圆心 C 到切线的距离为又直线 x=4 也是圆的切线方程，所求切线方程为 例例 5、设点 P(x，y)是圆 x2+y2=1 上任一点，求 的取值范围。法一：法一：u 表示过点(-1，2)且与圆有交点的直线 l 的斜率，如图，当直线 l 与圆相切时，PA 的斜率不存在，直线 PB
7、 的方程为 ux-y+u+2=0，圆心到直线 PB 的距离为 法二：法二：设 x=cos，y=sin，则 评评法一利用数形结合的思想，是解决这类问题的基本方法。 法二把这个几何问题转化为求三角函数 值域的问题，但此三角函数问题计算量偏大，难以解决，反过来，我们可以把求 值域的问题转化为本题去解决，就显得更好用的多。要善于处理代数问题和几何问题之间转化的问题。例例 6、从直线 L：2x-y+10=0 上一点做圆 O：x2+y2=4 的切线，切点为 A、B，求四边形 PAOB 面积的最小值。解： 当|OP|最小时，SPAOB最小，又当 OPL 时|OP|最小，此时 例例 7、(切点弦)过圆外一点
8、P(a，b)做圆 O：x2+y2=r2的切线，切点为 A、B，求直线 AB 的方程。法一：法一：如图， ，由射影定理|OA|2=|OD|OP|知， O 分 当 a=0 或 b=0 时，切线方程满足上式，所求切线的方程为 ax+by=r2法二：法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则过 A 点的切线为 x1x+y1y=r2，又过点 P(a，b)ax1+by1=r2，同理有 ax2+by2=r2由以上两式可以看出 A、B 的坐标都满足方程 ax+by=r2，它是一条直线的方程，又过两点的直线有且仅有一条，直线 AB 的方程为 ax+by=r2。评评法一先求得直线 AB 的斜率及其上一点的坐
9、标，再由点斜式写出直线的方程，做起来运算量比较大；而法二巧妙的避免了求 A、B 的坐标；设而不求 A、B 两点的坐标，体现了对曲线与方程概念的深刻理解。3、弦长问题、弦长问题例例 8、(1)若点 P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点，求直线 AB 的方程。解：圆心 C(1，0)，kPC=-1，ABPC，kAB=1，且 AB 过点 P，直线 AB 的方程为 y+1=x-2 即 y=x-3(2)若直线 y=2x+b 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹。解：设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，且 A（x1，y1） ，B（x2，y2）由
10、 ，消去 y 得 5x2+4bx+b2-4=0由韦达定理得， 由消去 b 得 ，又因 M 在圆内，所求轨迹为直线 在圆内的部分。(3)经过原点作圆 x2+y2+2x-4y+4=0 的割线 l，交圆于 A、B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹。法一：法一：设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，直线 l 的方程为 y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)由 消去 y 得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0又x0 代入得 x2+y2+x-2y=0M 点在圆内，所求轨迹为圆 x2+y2+x-2y=0 在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。法二：法二：设 M(x，y)为所求轨迹上任一
11、点，圆心 C（-1，2）CMOM 当 x0 且 x-1 时，有 ，当 x=0 时，点 M 不存在；当 x=-1 时，点 M 与 C 重合，符合方程M 点在圆内，所求轨迹为圆 x2+y2+x-2y=0 在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。法三：法三：设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，圆心 C（-1，2）CMOMM 点在以 OC 为直径的圆上，即 ，M 点在圆内，所求轨迹为圆 在圆 x2+y2+2x-4y+4=0 内的部分。习题习题1.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交，则点 P(a，b)的位置是_A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能2.直线 l 过点
12、 A(0，2)且与半圆 C：(x-1)2+y2=1(y0)有两个不同的交点，则直线 l 的斜率的范围是_3.若圆 x2+y2-4x-5=0 上的点到直线 3x-4y+k=0 距离的最大值是 4，求 k4.一个圆经过点 P(2，-1)和直线 x-y=1 相切，且圆心在 y=-2x 上，求它的方程。5.设 a+b+1=0，试求：a2+b2-2a-2b+2 的最小值6.已知实数满足：x2+y2-4y+1=0 (1)求 y-2x 的取值范围；(2)求 的取值范围。7.自点 A(-3，3)发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切，求光线 L 所在的直线的方程。8.求圆 x2+y2-2axsin-2bycos-a2cos2=0(aR 且 a0)在 x 轴上截得的弦长。9.已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点，定点 Q(4，0)，求线段 PQ 中点的轨迹方程。答案：答案：1.B； 2、 ； 3、-1 或-11 4、(x-1)2+(y+2)2=2 或(x-9)2+(y+18)2=338；5、 6、(1) (2) 7、4x-3y+3=0 或 3x-4y-3=0； 8、2|a| 9、
