A404-还原问题与盈亏问题

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1、一、还原问题一、还原问题 练习题:练习题: 1. 某数加上 6,乘以 6,减去 6,除以 6,其结果等于 6,则这个数是多少? 解答:(66+6)6-6=1,这个数是 1. 2. 两个两位数相加,其中一个加数是 73,另一个加数不知道,只知道另一个加数的十位数 字增加 5,个位数字增加 1,那么求得的和的后两位数字是 72,问另一个加数原来是多少?解答:和的后两位数字是 72,说明另一个加数变成了 99,所以原来的加数是 99-51=48. 3. 有砖 26 块,兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶到了。哥哥看弟弟 挑的太多,就抢过一半。弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半。哥哥不服,弟

2、弟只好给哥哥 5 块,这时哥哥比弟弟多挑 2 块。问最初弟弟准备挑多少块? 解答:先算出最后各挑几块:(和差问题)哥哥是(26+2)2=14,弟弟是 26-14=12,然 后来还原:1. 哥哥还给弟弟 5 块:哥哥是 14-5=9,弟弟是 12+5=17; 2. 弟弟把抢走的一半还给哥哥:抢走了一半,那么剩下的就是另一半,所以哥哥 就应该是 9+9=18,弟弟是 17-9=8; 3. 哥哥把抢走的一半还给弟弟:那么弟弟原来就是 8+8=16 块. 4. 甲、乙、丙三人钱数各不相同,甲最多,他拿出一些钱给乙和丙,使乙和丙的钱数都比 原来增加了两倍,结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱给甲和丙,使甲和

3、丙的钱数都比原 来增加了两倍,结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙,使甲和乙的钱数都比原来 增加了两倍,结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有 81 元,那么三人原来的钱分别是 多少元? 解答:三人最后一样多,所以都是 813=27 元,然后我们开始还原:1. 甲和乙把钱还给丙: 每人增加 2 倍,就应该是原来的 3 倍,所以甲和乙都是 273=9,丙是 81-9-9=63;2. 甲和 丙把钱还给乙:甲 93=3,丙 633=21,乙 81-3-21=57;3. 最后是乙和丙把钱还给甲:乙 573=19,丙 213=7,甲 81-19-7=55 元. 5. 甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒,甲

4、从乙处取来一些,使自己的糖豆增加了一倍;接着 乙从丙处取来一些,使自己的糖豆也增加了一倍;丙再从甲处取来一些,也使自己的糖豆 增加了一倍。现在三人的糖豆一样多。如果开始时甲有 51 粒糖豆,那么乙最开始有多少粒 糖豆? 解答:先假设后来三个人都是 4 份,还原后得到甲、乙、丙分别是 3 份,5 份,4 份,实际 上甲原来有 51 粒,513=17,那么我们可以把 1 份看成 17 粒,所以乙最开始有糖豆 175=85 粒. 6. 有一筐苹果,把它们三等分后还剩 2 个苹果;取出其中两份,将它们三等分后还剩两个; 然后再取出其中两份,又将这两份三等分后还剩 2 个。问:这筐苹果至少有几个? 解答

5、:如果最后的 1 份只有 1 个的话,我们很快就可以发现前面的 11 份就是(13+2) 2=2.5 个,这是不可能的,所以最后的那一份至少是 2 个,那么这筐苹果原来至少有: (23+2)23+2=23 个. 7. 兄弟三人分 24 个桔子,每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把 所得的桔子的一半平分给老大与老二,接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大, 最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三,这时每人的桔子数恰好相同。问:兄弟 三人的年龄各多少岁? 分析与解:由于总共有 24 个桔子,最后三人所得到的桔子数相等,因此每人最后都有 2438(个)桔子。由此列表逆推如下

6、表:由上表看出,老大、老二、老三原来分别有桔子 13,7,4 个,现在的年龄依次为 16,10,7 岁。 逆推时注意,拿出桔子的人其桔子数减少了一半,逆推时应乘以 2;另两人各增加拿 出桔子的人拿出桔子数的一半,逆推时应减去拿出桔子数的一半。二、盈亏问题二、盈亏问题 1少先队员去植树,如果每人挖 5 个树坑,还有 3 个树坑没人挖;如果其中两人各挖 4 个 树坑,其余每人挖 6 个树坑,就恰好挖完所有的树坑。请问,共有多少名少先队员?共挖 了多少树坑? 【分析】:解这道题的关键在于条件的转换,把“如果其中两人各挖 4 个树坑,其余每人挖 6 个树坑,就恰好挖完所有的树坑” 转换成“每人挖 6

7、个树坑,还差 2(64)个树坑。 ”则 本题成为“一盈一亏”的盈亏问题;对比两个条件,因为每人多挖(65)一个;所以就要 多挖32(64) 个,这样就可求出人数,继而求出树坑数。在这里我们把两个条件 中每人挖的差(65)叫分差,因两个条件中每人挖的数量不同而产生的差叫总差。 本题中:总差分差人数; 推广可得:两次分配的差叫分差, 总差分 3 种:一盈一亏中:盈亏总差;在双盈或双亏中:大数小数总差; 总差分差份数 份数在不同的题目中表示不同的意思。解:32(64) (65)7(人)75338(个)-树坑数 答:共挖了 38 个树坑。 2钢笔与圆珠笔每支相差 1 元 2 角,小明带的钱买 5 支钢

8、笔差 1 元 5 角,买 8 支圆珠笔多 6 角。问小明带了多少钱? 【分析】:关键在于条件的转换,要么都转换成钢笔,要么都转换成圆珠笔, 解 1:都转换成钢笔;买 5 支钢笔差 15 角,买 8 支钢笔差(1286)90 角,这是双亏: 分差是(85)3 支,总差是(9015)75 角,就是说多买 3 支,就多差 75 角;这样就可 求出 1 支钢笔多少钱;继而求出小明带了多少钱。(1286)15(85)75325(角)-钢笔的价钱2551512515110(角)11(元)-小明带得钱数 解 2:都转换成圆珠笔;买 5 支圆珠笔多(12515)45 角,买 8 支圆珠笔多 6 角。 (125

9、15)6(85)39313(角)-圆珠笔的价钱13861046110(角)11(元)-小明带得钱数 3某校到了一批新生,如果每个寝室安排 8 个人,要用 33 个寝室;如果每个寝室少安排 2 个人,寝室就要增加 10 个,问这批学生可能有多少人? 【解答】:关键在于条件的理解, 每个寝室安排 8 个人,要用 33 个寝室;因没说盈或亏, 我们只能认为至少有:(331)81257(人) ;至多有:338264(人) ; 每个寝室少安排 2 个人,寝室就要增加 10 个,也没说盈或亏, 我们也只能认为至少有:(33101)(82)1253(人) ;至多有:(3310)(82)258(人) ;根据这

10、两个条件可以得到人数在 257 与 258 之间。 (至少取大 数,至多取小数, ) 4有 48 本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多 5 人。如果把书全部分给第一组, 那么每人 4 本,有剩余;每人 5 本,书不够。如果把书全分给第二组,那么每人 3 本,有 剩余;每人 4 本,书不够。问第二组有多少人? 【解答】:因分给第一组,那么每人 4 本,有剩余;每人 5 本,书不够。 说明第一组的人数不到 48412 人,多于(48593)9 个人,即 10 到 11 人; 同理,第二组不到 48316 人,又多与 48412 人,即 13 到 15 人, 因 15105(人) ;由此可知:第

11、一组是 10 人,第二组是 15 人。 5用绳测井深,把绳三折,井外余 2 米,把绳四折,还差 1 米不到井口,那么井深多少米? 绳长多少米? 【分析】:绳三折,井外余 2 米,说明绳子比井深的 3 倍多(32)6 米;绳四折,还差 1 米不到井口,说明绳子比井深的 4 倍少(41)4 米,总差:(因多 1 折,就差) ;(32) (41) ;分差:(43) ;这样可求出井深。 解:(32)(41) (43)10110(米)-井深1032336(米)-绳长6有一个班的同学去划船。他们算了一下,如果增加 1 条船,正好每条船坐 6 人;如果减 少 1 条船,正好每条船坐 9 个人。问:这个班共有

12、多少名同学? 【分析】:条件可以这样理解,每条船坐 6 人,多 6 人;每条船坐 9 人,差 9 人。 解:(96)(96)5(条) ;56636(人) 7 “六一”儿童节,小明到商店买了一盒花球和一盒白球,两盒内的球的数量相等。花球原 价 1 元钱 2 个,白球原价 1 元钱 3 个。因节日商店优惠销售,两种球的售价都是 2 元钱 5 个,结果小明少花了 4 元钱,那么小明共买了多少个球? 【分析】:根据题意我们可知盒内的球的数量一定是 2、3、5 的倍数,假设 1 份球数是 30 个;原来各买一份要:302303151025(元) ;现在要(3030)5224(元) ;即小明每买 303060 个球,就可以少花 1 元钱,那么小明一共就买了 460240 个球。 解:假设 1 份球数是 30 个;4(302303)(3030)524(份)(3030)4240(个) 答:小明共买了 240 个球。

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