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1、第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型-静态优化模型静态优化模型3.1 存贮模型存贮模型 3.2 生猪的生猪的出售时机出售时机 3.3 森林救火森林救火3.4 消费者的选择消费者的选择3.5 生产者的决策生产者的决策3.6 血管分支血管分支3.7 冰山运输冰山运输3.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.问题问题分析分析问题问题记队员人数
2、记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小. 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻t森林烧毁面积森林
3、烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形.t1t2OtBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论单位时间转而讨论单位时间烧毁面积烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度森林烧毁的速度).模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度火势蔓延速度). 2）t1 t t2, 降为降为 x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度速度). 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3 .假设假设1
4、）的解释）的解释 rB火势以失火点为中心，均匀向四火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径周呈圆形蔓延，半径 r与与 t 成正比成正比.面积面积 B与与 t2 成正比成正比dB/dt与与 t 成正比成正比模型建立模型建立bOt1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数bOt1t2t模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知, t1
5、可估计可估计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ? , 可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量 x3.4 消费者消费者的选择的选择背景背景消费者在市场里如何分配手里一定数量的钱，消费者在市场里如何分配手里一定数量的钱，选择购买若干种需要的商品选择购买若干种需要的商品. 根据经济学的一
6、条最优化原理根据经济学的一条最优化原理“消费者消费者追求最大效用追求最大效用” ，用数学建模的方法帮助消，用数学建模的方法帮助消费者决定他的选择费者决定他的选择. 假定只有甲乙两种商品供消费者购买，假定只有甲乙两种商品供消费者购买， 建立的模型可以推广到任意多种商品的情况建立的模型可以推广到任意多种商品的情况.当消当消费者者购得数量分得数量分别为x1, x2的甲乙两种商品的甲乙两种商品时，得到的效用可用得到的效用可用函数函数u (x1, x2)度量度量，称称为效用函数效用函数.效用函数效用函数 利用等高利用等高线概念在概念在x1, x2平面上画出平面上画出函数函数u 的等的等值线, u (x1
7、, x2)=c 称称为等效用等效用线等效用线就是等效用线就是“ 实物交换模型实物交换模型”中中的的无差别曲线无差别曲线，效，效用就是那里的用就是那里的满意满意度度. . Ox2u(x1,x2) = cx1c增加增加 一族单调减、下凸、一族单调减、下凸、互不相交的曲线互不相交的曲线. 效用最大化模型效用最大化模型 p1, p2甲乙两种商品的甲乙两种商品的单价价, y消消费者准者准备付出的付出的钱 x1, x2 购得甲乙两种商品数量得甲乙两种商品数量QABy/p2y/p1x1x2几何分析几何分析 x2u(x1,x2) = cx1Oc增加增加u(x1, x2) = c 单调减、单调减、下凸、互不相交
8、下凸、互不相交.在条件在条件 p1 x1+p2 x2 =y 下使下使效用函数效用函数u(x1, x2)最大最大. AB必与一条等效用线必与一条等效用线相切于相切于Q点点 (消消费点点).Q (x1, x2) 唯一唯一.消费线消费线AB模型求解模型求解引入拉格朗日引入拉格朗日乘子乘子构造函数构造函数与几何分析得到的与几何分析得到的 Q 一致一致等效用等效用线u (x1, x2)=c的斜率的斜率 消费线消费线AB的斜率的斜率结果结果解释解释效用函数效用函数的构造的构造等效用等效用线u (x1, x2)=c 所确定的函数所确定的函数 x2(x1)单调减、下凸单调减、下凸. 解释条件中正负号的实际意义
9、解释条件中正负号的实际意义充分条件充分条件当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大. 边际效用边际效用商品商品数量数量 增加一个单位时效用的增量增加一个单位时效用的增量 效用函数效用函数u(x1,x2)几种常用的形式几种常用的形式 购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比成正比, 比例系数是参数比例系数是参数与与之比的平方根之比的平方根. u(x1,x2)中参数中参数 , 分分别度量甲乙两种商品度量甲乙两种商品对消消费者的效用，或者消者的效用，或者消费者者对甲乙两种商品的偏甲乙两种商品的偏
10、爱 . 购买两种商品费用之比购买两种商品费用之比只取决于只取决于, 与价格无关与价格无关. u(x1,x2)中中 , 分别分别度量两种商品的效用或者度量两种商品的效用或者偏爱偏爱.实际应用时实际应用时根据对最优解的分析，决定采用根据对最优解的分析，决定采用哪种效用函数，并由经验数据确定其参数哪种效用函数，并由经验数据确定其参数.效用函数效用函数u(x1,x2)几种常用的形式几种常用的形式效用最大化模型应用举例效用最大化模型应用举例 例例1 1 征销售税还是征收入税征销售税还是征收入税 政府从消费者身上征税的两种办法政府从消费者身上征税的两种办法: 销售税销售税 根据消费者购买若干种商品时花的钱
11、征税根据消费者购买若干种商品时花的钱征税 收入税收入税 根据消费者的收入征收所得税根据消费者的收入征收所得税 利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论 征税前征税前设甲乙两种商品的甲乙两种商品的单价价为p1, p2，消，消费者准者准备花花的的钱为y, 等效用等效用线为u (x1, x2)=c，消，消费点点为Q(x1, x2) .l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1, x2) =cOx2x1l 例例1 1 征销售税还是征收入税征销售税还是征收入税 对甲商品征对甲商品征销售税销售税, 税率税率为p0 征税前的消征税前的消费点点Q 消消费线AB
12、1, B1在在B的左的左边 AB1与与l1相切于相切于Q1(x1*, x2*) 若改为征若改为征 收入税收入税 政府得到的政府得到的销售税售税额 p0x1* 征收的税征收的税额与与销售税售税额 p0x1*相同相同 消消费线A2B2与与l2相切于相切于Q2, 可可证B2在在B1的右的右边. l2在在l1上上？l2在在l1下？下？ 如果如果l2在在l1上方，上方，Q2的效用函数的效用函数值将大于将大于Q1, 对消消费者来者来说征收入税比征征收入税比征销售税好售税好. 例例2 价格补贴给生产者还是消费者价格补贴给生产者还是消费者政府为鼓励商品的生产或者减少消费者的负担所采取政府为鼓励商品的生产或者减
13、少消费者的负担所采取的两种价格补贴办法：的两种价格补贴办法： 把补贴款直接给生产者把补贴款直接给生产者 把补贴款发给消费者而让商品涨价把补贴款发给消费者而让商品涨价 鼓励商品生产鼓励商品生产,对消费者无影响对消费者无影响 让甲商品价格甲商品价格涨到到p1+p0, 补贴消消费者多花的者多花的钱 p0 x1*,使仍达到消使仍达到消费点点Q lQABu (x1, x2) =cOx1x2lQABx1x2补贴补贴前的消前的消费点点Q 消费线消费线 过过Q, 与与l相切于相切于Q 的效用函数的效用函数值大于大于Qx1 x2* 对消费者更有利对消费者更有利 对甲商品生产不利对甲商品生产不利3.5 生产者的决
14、策生产者的决策背景背景根据经济学的又一条最优化原理根据经济学的又一条最优化原理“生产者生产者追求最大利润追求最大利润” ，用数学建模的方法，用数学建模的方法帮助生帮助生产者或供销商做出决策产者或供销商做出决策.生产者或供销商根据产品的成本和产值决定投入，生产者或供销商根据产品的成本和产值决定投入，按照商品的销售情况制订价格按照商品的销售情况制订价格. 在市场经济中在市场经济中“消费者追求最大效用消费者追求最大效用”，生产者呢？，生产者呢？最大利润模型最大利润模型 x产品产量产品产量f (x) 边际产值边际产值 x变化一个单位时产值的改变量变化一个单位时产值的改变量 c(x) 边际成本边际成本
15、x变化一个单位时成本的改变量变化一个单位时成本的改变量最大利润在边际产值等于边际成本时达到最大利润在边际产值等于边际成本时达到. . 假定产品可以全部销售出去变成收入假定产品可以全部销售出去变成收入 f(x) 产值产值(收入收入), c(x) 成本成本 利润利润 达到最大利润的产量达到最大利润的产量 x*在产品可以全部销售出去的条件下确定商品价格，在产品可以全部销售出去的条件下确定商品价格，使利润最大使利润最大. 产量产量x等于销量，数量无限制等于销量，数量无限制. 收入与收入与x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格. 成本成本与与 x 成正比，系数成正比，系数 c 即即边际成本边际成
16、本. 销量销量x 依于价格依于价格 p, x(p)是减函数是减函数.简化假设简化假设求求p使使 r(p) 最大最大最优定价模型最优定价模型 利润利润c / 2 成本的一半成本的一半b 弹性系数性系数价格上升价格上升1单位时销量的下降幅度单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）（需求对价格的敏感度）a 绝对需求绝对需求( p很小时的需求很小时的需求)b p* a p* a, b可可由由p和和x的的统计数据作数据作拟合得到合得到 利润达到最大的定价利润达到最大的定价利润利润最优定价模型最优定价模型 投资费用一定下的产值最大模型投资费用一定下的产值最大模型 x1, x2 甲乙甲乙产品的品的产量量c
17、1, c2 甲乙甲乙产品的品的单位成本位成本s总投资费用总投资费用f (x1, x2) 产值函数函数 在条件在条件 下求下求x1, x2使使产值 f (x1, x2) 最大最大. QABs/c2s/c1x1x2x2f(x1,x2) = vx1Ov增加增加等等产值线f (x1, x2)=v单调单调减、下凸、互不相交减、下凸、互不相交.几何分析几何分析 投资线投资线AB必与一条等必与一条等产值线相切于线相切于Q点点.与效用最大化模型类似与效用最大化模型类似下凸下凸稀缺产品的产值更高稀缺产品的产值更高 投资费用一定下的产值最大模型投资费用一定下的产值最大模型 最最优解解(x1, x2)满足足 在条件
18、在条件 下求下求x1, x2使使产值 f (x1, x2) 最大最大. 用拉格朗日乘子法求条件极值用拉格朗日乘子法求条件极值边际产值边际产值当两种产品的边际产值之比等于它们的当两种产品的边际产值之比等于它们的价格之比时，产值达到最大价格之比时，产值达到最大. . 产值最大与费用最小的对偶关系产值最大与费用最小的对偶关系 x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) 投资费用一定的产值最大模型投资费用一定的产值最大模型 g(s,c)给定的单位成本给定的单位成本c下费用不超过下费用不超过s的最大产值的最大产值. 产值一定的投资费用最小模型产值一定的投资费用最小模型 s(v,c)给定的单位成本给
19、定的单位成本c下产值不低于下产值不低于v的最小费用的最小费用. 对偶极值问题对偶极值问题 只要解决其中之一只要解决其中之一, 另一个就迎刃而解另一个就迎刃而解 成本函数是简单的线性函数成本函数是简单的线性函数 c(x). 产值函数产值函数f(x) 在实际生产过程中常常难以确定在实际生产过程中常常难以确定. 从成本函数确定产值函数的图解法从成本函数确定产值函数的图解法产值最大与费用最小对偶关系的应用产值最大与费用最小对偶关系的应用 Qf (x) vlABOx1x2 给定给定v和和c求得最小费用求得最小费用s(v,c)=s 画出直线画出直线AB: cx=sx=(x1, x2)T, c =(c1,
20、c2) f (x)v的点在的点在AB上方上方, 且且AB上有一点上有一点Q位于位于l: f (x)=v上上 改变改变c重复上述过程重复上述过程, 得到得到一系列不同斜率的直线一系列不同斜率的直线 区域区域f (x)v在直线上方在直线上方, 其边界是等产值线其边界是等产值线l: f (x)=v 包包络络线线 改变改变v重复上述过程重复上述过程, 得到一系列等产值线得到一系列等产值线 3.6 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动.给血管壁以营养给血管壁以营养.克服血液流动的阻力克服血液流动的阻力.消耗能量取决于血管的几何形状消耗能量取决
21、于血管的几何形状.在长期进化中动物血管的几何形状已经在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则达到能量最小原则.研究在能量最小原则下，血管分支处研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度粗细血管半径比例和分岔角度.问问题题模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面.血液流动近似于黏性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于黏性流体在刚性管道中的运动.血液给血管壁的能量随管血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度加而增加，管壁厚度d近近似与血管半径似与血管半径r成
22、正比成正比.qq1q1ABBCHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?考察血管考察血管AC与与CB, CB黏性流体在刚黏性流体在刚性管道中运动性管道中运动 pA,C压力差，压力差， 黏性系数黏性系数克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量E1 提供营养消耗能量提供营养消耗能量E2 管壁内表面积管壁内表面积 2 rl管壁体积管壁体积 (d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比模型假设模型假设qq1q1ABBCHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量机体为血流提供能量模型求解模型
23、求解qq1q1ABBCHLll1rr1 模型模型解释解释生物学家：结果与观察大致吻合生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax, 毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 观察：狗的血管观察：狗的血管血管总条数血管总条数推论推论n=？3.7 冰山运输冰山运输背景背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米的成本为每立方米0.1英镑英镑. 专家建议从专家建议从9600km远的南极用拖船远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水运送冰山，取代淡化海水. 从经济角度研究冰山运输的可行性从经济角度研究冰山运输的可行性.建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较.
