《基于geogebra软件环境下一种轨迹曲线的探究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于geogebra软件环境下一种轨迹曲线的探究（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教育技术 l ， 0 摘要 ：基于 G e o G e b r a软件环境支持下 ，从几何作 图、方程绘 图、函数析 图、曲线性质等方面研 究 了平 面 内到 两 定 点距 离的倒 数和 为 定值 的动 点 的轨 迹 曲线 关 键词 ：G e o G e b r a软件 ；动点轨迹 ；几何作 图； 曲线性 质 一 、问题提 出 平面内，到两定点的距离之和、差 、积、商为定值 的点的轨迹可以生成椭 圆、双曲线 、卡西尼( C a s s i n i ) 卵形线和阿波罗尼斯( A p o l l o n i u s ) 圆那么平面 内到 两定点距 离 的倒 数和 为常数 的点 的轨迹是 什么形 状
2、 呢?下面我们借助动态数学软件( G e o G e b r a软件)进 行探究 类 比椭 圆为到两定点的距离 和为 2 0的点的轨迹 ， 双曲线为到两定点的距离差为 2 0的点的轨迹 ，卡西尼 卵形线为到两定点的距离积为 的点的轨迹 ，我们不 妨把到两定点距离的倒数和定为 ，于是得到下列问题 已知平面内的两定点 4，B，A B=2 c ( C0 )，若 动点 满足关系 + = ( 口0 ) ，口 ，c是定 值 试探究点 的轨迹曲线 二、几何作图 由动点M满足的关系式变形，得( 一 口1 ( 一 争 口 ) ： 联 想 到 相 交 弦 定 理 ， 于 是 得 到 动 点 M轨迹 的几何作图方法
3、 在 G e o G e b r a软件绘 图 区内 ，利用 具作 图 ，过 程如 下 ( 1 ) 作线 段 A B，取 中点 0，作 C O_ L A B，取 C O 的中点 D，连接 D B； ( 2 ) 以点 0为圆心 ，以 O D，D B为半径作两个同 心圆，取内圆上动点 P ，连接 O P ； ( 3 ) 过点 B作外圆的弦E F ，使 E F P O ，延长 B E 到点 G，使 E G=O D，延长 B F到点 ，使 F H=O D； ( 4 ) 以点 B为圆心 ，以 B G为半径作 圆，与以点 A 为圆心，以 B H为半径的圆交于点 l ， ，K； ( 5 ) 选 中工具栏 中
4、的轨 迹按钮 ，分别点选 I ， ，P， K，P，即得符合要求 的轨迹曲线 作图依据 ：如图 1 ，设点 是 轨迹上任意一点 ， 2DD = 0C =a G 图 l 由相交弦定理 ，得 朋 F= D z O B =O Dz 断 以 M A MB=B H B G =( B E+E G) ( 口 F+ ) =B E BF4 - 0 D( BE 4 - )+D D =0D( B E+ F) +2 D D =0D( BE+BF+2 O D) =0D( BG+B H ) ：0D( 朋 +朋B ) 收稿 日期 ：2 叭4 1 O 一 1 5 作者简介：李世 臣 ( 1 9 6 4 一 ) ，男，中学高级教
5、师，教研员，主要从事初等数学、数学技术应用、考试命题研究 圄 壁 堕 2。 衅第 3 期 所 以 + = 击 = 【 评注】用这种作图方法还可以作 出满足关系式 h_一 = a 的 轨 迹 曲 线 ， 只 需 要 在 弦 上 截 取 E G=O D获得点 G，或者截取 用 =O D获得 点 H，其 他作图步骤不变 三、方程绘图 以直线 A B为 轴 ，线段 A B的中垂线为 Y轴 ，建 立直角坐标系 ，则 A( 一 C ，0 ) ，B ( c ，O ) 设 M( x ，Y ) ， 则 点 的 轨 迹 就 是 集 合 f l + = 1 因为M A= 、 W， M B = 阿， 所以 + 由于
6、G e o G e b r a 软件只执行多项式方程 ，所以需要 将上式进行形式转化 去分母，得 a 、 = +、 = 2 、 = 、 两边平方，得 、 = 、 = 2 ( + ) ，2 + c ) 一 4 c 一 ( + + c ) 两边再平方 ，得 ( 。 + +c ) 一4 c 2 x 一 ( + + c ) ( + + c ) 一 4 c 2x + a 4c 2 x = 0 令 r 2 = + +C ， 则方程化为( r 4 4 c ) 一 ( r 4 4 c 2x ) + = 0 【 评注】在第二次平方后，扩大了方程的范围，方 程同时包含了到两定点的距离倒数的差为定值的点 的 轨 迹
7、 ， 即 包 含 集 合 I 【_ 一 = ) 在 G e o G e b r a软件绘 图 区内 ，输人方 程 ，绘 图步 骤如下 ( 1 ) 绘制滑杆 ：选中工具栏 中的参数按钮 ，点击 绘图区，出现参数设置窗E l ，选择适当的区间和数据， 绘制两个参数 a ，c ( 2 ) 输入方程 ：在指令栏的输入框内输入方程， 正确输 人后 回车 ，绘 图区 即输 出轨迹 曲线 ，如 图 2 所示 教育技术 ， 。Q Y 。 咎 _ 、9 、 图 2 【评 注 】 在 图 2 中 ， 曲 线 对 应 关 系 式 L一十 = 2口，正是我们要探索的曲线；曲线对应关系式 一 = 2，曲线对应关系式 一
8、 = 一 四、函数析 图 从 AMA B的高的变化来探析动点 的轨迹形态 设 AMA B的A B边上的高为 h ，M A=m，MB=n 因为 十一 1 ：一 2， 所以( ， 孔+ ) 4 m n=2 a ( m+ ) ， 即 m+ t 2 a ( 当 m=n时，等号成立) 令 2 x=m+n+2 c ， 贝 4 +c ，m n=a ( xC ) 由海伦公式可知 ， J s B= x ( x一2 c ) ( 一， n ) ( 一n ) = ( 一2 c ) 一( m+n ) x+mn =x ( x一2 c ) 一2 ( C ) +a ( x C ) = ( 一2 c ) I x 一( a +
9、2 c ) + tiC 又因为 S 删 日=c h ， 所 以 ( ) =1 x ( x-2 c ) x 2 - ( a+2 c ) x +a c J， C 其中 口+c 丛 二 在 G e o G e b r a软件绘图区内 ，利用 函数绘制 图象 ， 方法如下 ( 1 ) 绘制滑杆 ：可以新 建参数 ，也可以使用原来 的参数 a ，c ( 便 于观察比较 ) ( 2 ) 输人 函数 ：在指令栏的输入框 内，调用 I F语 句输 入 函数 ，正确输 人后 回车 ，即得 函数 图象 ，如 图 3所示 2 0 1 5年第 3期 教育技术 Q ； 图 3 由图 3可 以看 出 ，函数 h ( x
10、) 的图象与 轴 的交点 坐标分别为 o ( o ，o ) ，u a+ 2 c-， )X +4 c 2一 ，o ) ， w ( a + 2 c + 4 c 2一 ， 0 1 用 函 数 极 值 指令输 出 h ( x ) 的极值点 s ，其横坐标在 轴上 的对应 点为点 7 T ，定义域在 轴上的对应线段为 五 、 曲线性质 1 对 称 性 由图 1 、图 2 及隐式方程易知 ，动点 的轨迹 曲线关于两定点所在直线( 主轴) ，及两定点 的中垂线 ( 副轴)成轴对称 ，关 于两定点的中点 0成中心对称 2 与对称 轴 的 交点 新建 G e o G e b r a 窗口 ( 避开参数 a ，c
11、的影响) ，在 菜单栏的视图中打开运算区，复制隐式曲线方程， 粘贴到第一行的输入框中 点击工具栏 中的替换按钮 ，使 a=a ，c=c ， = ， Y=0 ，得( 一c ) 4 一a 2 ( +C 2 ) ( 一C 2 ) +d 4 c 2 x =0 光标移至第二行 ，然后点击第一行的输出区，输 出结果立即出现在第二行 中 ，点击工具栏 中的分解因 式按钮 ， 得 ( 一C + ) ( 一C 一伽) ( 一 一C ) ( + a xc 2 )=0 同样方法 将分解 结果 复 制到新 的输 入行 ，点 击 工具栏 中的精确 解按钮 ，得 =一 _ a+X -+4 d ， = 一、 ， ：T a
12、-V +4 c 2， ：一 、 ， ： 、 ， ：- a + X ,f a 2 +一4c 2， ：、 ， ： 五 2 当n C 时，有 8 个解， 都是隐式曲线与 轴交点 的 横 坐 标 ， 其 中 ( 、 ， o re( 旦 = 坐 三 _ ， 0 ) 匿 壁 堕 2 期 是图 1 中曲线与主轴 A B的交点 同理求得隐式 曲线与副轴的交点( 0 ， 、 ) 3 极 值点 在新建 的 G e o G e b r a 软件窗 口，光标移至运算区中 贴有隐式方程的输入框内，点击工具栏中的导数按 钮 ，即得导数方程 ( 1 4 4 c 2 x ) ( 4 r z 一8 c 一3 ) + ( 4 ，
13、 2 8 + ) =0 复制上述导数方程 ，粘 , d i N原来 的 G e o G e b r a文档 的指令输入区 ，按 回车即得 图 4中的虚线图 4中实 线与虚线的交点 即为隐式 曲线的极值点 ，图 4中一共 有 1 O个极值点 a ：8 。7 ： c = 6 一：一 图 4 以下探讨图 1 中曲线的两个极大值点 ( 极小值 点)重合于副轴时参数 的特征此 时 ，实线 、虚线与 副轴的交点重合 ，如 图 5所示 a=1 0 4： c =6 I ： 图 5 在运算 区内，光标移至新的输入行 ，点击导数方 程的输 出框 ，导数方程即被复制到新 的输入行 ，去掉 方程的等号和 0 ，并点击
14、分解因式按钮输出分解结果， 将 其转移到新 的输入行 ，去掉 并补上等号和 0 再 点击替换按钮 ，使 a =a ，c=c ， ：0 ，Y=、 二 ， 即得 a 6 3 a 4 c 0 解得 a = 、 3 c 4 图形动 态 可 以采用控制变量法探 究 曲线与参数 的关 系例 如 ，固定参数 c ，改变参数 0的大小 ：图 1中拖动点 C ， 图 2 ，图 3中拖动参数 a的滑竿 ，通过赋予参数 0 不 同 的值，观察图形的变化 ，得出以下五种不同的图形动 态( 如 图 6 图 1 0 ) a 5 8 c 6 、 图 6 a=6 e 6 图 7 C 6 _ 、7 f 图 8 a 10 4 c篁6 、 f 厂_ ， t ； 图 9 教育技术 l Q lY 卜 ij 矗； 1 2 e=6 _ 、 _ 、 图 l 0 综合归纳得下表，令 A C B= ，e = ( 如图 1 ， 图 2所示 ) 的取值 e的取值 的位置 曲线形状 图
