2010数学高中巧学巧解大全

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1、20102010 数学高中巧学巧解大全数学高中巧学巧解大全第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点依赖于另一动点而运动，而点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式， ，于是将这个点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。【例 1】 （2009 年高考广东卷）已知曲线：与直线：交于两点和，且，记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D.设点是 L 上的任一点，且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.若点 Q 是线段 AB 的中点，试求线段 PQ 的中点 M 的

2、轨迹方程；【巧解】联立与得，则中点，设线段 的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.【例 2】 （2008 年，江西卷）设 在直线上，过点作双曲线的两条切线、 ，切点为、 ，定点 M。 过点 A 作直线的垂线，垂足为 N，试求的重心 G 所在的曲线方程。【巧解】设，由已知得到，且， ， （1）垂线的方程为：，由得垂足，设重心所以 解得 由 可得 即为重心所在曲线方程巧练一：（2005 年，江西卷）如图，设抛物线的焦点为 F，动点 P在直线上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C分别相切于 A、B

3、 两点.，求APB 的重心 G 的轨迹方程.巧练二：（2006 年，全国 I 卷）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点分别为 A、B，且向量，求点 M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设

4、计算，验证、筛选而迅速确定答案。【例 1】 （2009 年高考全国 II 卷）已知双曲线的右焦点为 F，过 F且斜率为的直线交 C 于 A、B 两点。若，则 C 的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【巧解】设， ， ，由，得，设过点斜率为的直线方程为，由消去得：， ， 将 代入得化简得，化简得：， ，即。故本题选（A）【例 2】 （2008 年，四川卷）设定义在上的函数满足，若，则（ ）（A）13（B）2（C） （D）【巧解】，函数为周期函数，且，故选（C）巧练一：（2008 年，湖北卷）若上是减函数，则 b 的取值范围是（ ）ABCD巧练二：（2008 年，湖南卷）长方体 ABCD

5、A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上，且 AB=2，AD=AA1=1，则顶点 A、B 间的球面距离是（ ）ABCD三、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。【例 1】 （2009 年高考福建卷，理 13）过抛物线的焦点 F 作倾斜角为 450 的直线交抛物线于 A、B 两点，线段 AB 的长为 8，则 【巧解】依题意直线的方程为，由消去得：，设， ，根据抛物线的定义。， ，故本题应填 2。【例 2】 （2008 年，山东卷，

6、理 10）设椭圆 C1 的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为 26. 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】由题意椭圆的半焦距为，双曲线上的点满足 点的轨迹是双曲线，其中， ，故双曲线方程为，选（A）巧练一：（2008 年，陕西卷）双曲线的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F1 作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD巧练二：（2008 年，辽宁卷）已知点 P 是抛物线上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线

7、的距离之和的最小值为（ ）（A） （B）3（C） （D）四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。【例 1】 （2008 年，广东卷）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若=a，=b，则=（ ）Aa +b Ba +b Ca +b Da +b【巧解】如图所示，选取边长为 2 的正方形则， ， ， ， ，直线的

8、方程为，联立得，设，则解之得， ，故本题选 B【例 2】已知点为内一点，且 0，则、 、的面积之比等于（ ）A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1D1：2：3【巧解】不妨设为等腰三角形，建立如图所示的直角坐标系，则点， ，设，0，即解之得， ，即，又直线的方程为，则点到直线的距离，因此， ，故选 C巧练一：（2008 年，湖南卷）设 D、E、F 分别是ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，且（ ）A反向平行 B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直巧练二：设是内部一点，且，则与面积之比是 .五、查字典法查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问

9、题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位） ，查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3 的倍数和 5 的倍数的特征，0 的特性等等。以免考虑不全而出错。【例 1】 （2007 年，四川卷）用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（ ）（A）288 个 （B）240 个 （C）144 个

10、（D）126 个【巧解】本题只需查首位，可分 3 种情况， 个位为 0，即 型，首位是 2，3，4，5 中的任一个，此时个数为； 个位为 2，即，此种情况考虑到万位上不为 0，则万位上只能排 3，4，5，所以个数为；个位为 4， 型，此种特点考虑到万位上不为 0，则万位上只能排 2，3，5，所以个数为；故共有个。故选（B）【例 2】 （2004 年全国 II 卷）在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有（ ）A56 个 B57 个 C58 个 D60 个【巧解】 （1）查首位：只考虑首位大于 2 小于 4 的数，仅有 1

11、 种情况：即型，此特点只需其它数进行全排列即可。有种，（2）查前位：只考虑前“”位中比既大又小的数，有 4 种情况：， ， ，型，而每种情况均有种满足条件，故共有种。（3）查前位：只考虑前“3”位中既比大又小于 5 的数，有 4种情况：， ， ，型，而每种情况均有种满足条件，故共有种。（3）查前 4 位：只考虑前“4”位中既比 4 大又小于 2 的数，此种情况只有 23154 和 43512 两种情况满足条件。故共有个，故选 C 巧练一：用数字可以组成没有重复数字，并且不大于 4310 的四位偶数共有（ ）A110 种B109 种 C108 种 D107 种巧练二：（2007 年，四川卷）用数

12、字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有（ ）（A）48 个（B）36 个（C）24 个（D）18 个六、挡板模型法挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。【例 1】体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1，2，3 的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（ ）A8 种B10 种 C12 种 D16 种【巧解】先在 2 号盒子里放 1 个小球，在 3 号盒子里放 2 个小球，余下的 6 个小

13、球排成一排为：，只需在 6 个小球的 5 个空位之间插入 2 块挡板，如：，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为种. 故选 B【例 2】两个实数集， ，若从 A 到 B 的映射使得 B 中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有（ ）个ABCD【巧解】不妨设两个集合中的数都是从小到大排列，将集合的 50 个数视为 50 个相同的小球排成一排为：，然后在 50 个小球的 49 个空位中插入 24 块木板，每一种插法对应着一种满足条件对应方法，故共有不同映射共有种. 故选B巧练一：两个实数集合 A=a1, a2, a3, a15与 B=b1, b2, b3, b10，若从 A 到 B 的是映

14、射 f 使 B 中的每一个元素都有原象，且 f(a1)f(a2) f(a10)1）C.（x1）巧练二：（2004 年，重庆卷）不等式的解集是（ ）A BC D九、极限化法极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.【例 1】正三棱锥中，在棱上，在棱上，使，设为异面直线与所成的角，为异面直线与所成的角，则的值是 （ ） A BCD【巧解】当时， ，且，从而。因为，排除选择支故选 D（或时的情况，同样可排除） ，所以选 D【例

15、2】若，当1 时，的大小关系是（ ）A B C D【巧解】当时， ， ， ，故，所以选 B巧练一：若的大小关系 （ ）ABCD与 x 的取值有关巧练二：对于任意的锐角，下列不等关系式中正确的是（ ）（A） （B）（C） （D） 十、整体化法整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对 4 个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法.【例 1】已知是锐角，那么下列各值中，可能取到的值是（ ）A BCD【巧解】，又是锐角，即，故选 B【例 2】(2002 年,全国卷)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告指出“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上一年增长 7.3%.”如果“十五”期间(2001-2005 年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十五”末,我国国