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1、小学数学奥数基础教程 (三年级 )本教程共30 讲第 27 讲 巧用矩形面积公式同学们都知道求正方形和长方形面积的公式:正方形的面积 =aa(a 为边长 ),长方形的面积 =ab(a 为长, b 为宽) 。利用这两个公式可以计算出各种各样的直角多边形的面积。例如,对左下图,我们无法直接求出它的面积,但是通过将它分割成几块, 其中每一块都是正方形或长方形(见右下图 ),分别计算出各块面积再求和, 就得出整个图形的面积。例 1 右图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位:米 )。这个图形的面积等于多少平方米?分析与解: 将此图形分割成长方形有下面两种较简单的方法,图形都被分割成三个长方形。
2、根据这两种不同的分割方法, 都可以计算出图形的的面积。52(5 3)3(534) 2=58(米2) ;或5(232)3(2 3)4258(米2) 。上面的方法是通过将图形分割成若干个长方形,然后求图形面积的。实际上,我们也可以将图形 “添补”成一个大长方形 ( 见下图 ),然后利用大长方形与两个小长方形的面积之差,求出图形的面积。(5 34)(2 32)-2 3-(2 3)458(米2) ;或(5 34)(2 32)-2 (34)-3 458(米2) 。由例 1 看出,计算直角多边形面积,主要是利用“分割”和“添补”的方法,将图形演变为多个长方形的和或差,然后计算出图形的面积。 其中“分割”是
3、最基本、最常用的方法。例 2 右图为一个长 50 米、宽 25 米的标准游泳池。它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖 ( 阴影部分 ) 。求游泳池面积和地砖面积。分析与解: 游泳池面积 =50251250(米2)。求地砖面积时, 我们可以将阴影部分分成四个长方形(见下图 ) ,从而可得白瓷地砖的面积为(2252)225022316(米2);或(2502)222522316(米2)。求地砖的面积,我们还可以通过“挖”的方法,即从大长方形内“挖掉”一个小长方形 (见右图 ) 。从而可得白瓷地砖面积为(5022)(2522)-50 25 =316(米2) 。例 3 下图中有三个封闭图形,每个封闭图形均由边
4、长为1 厘米的小正方形组成。试求各图形的面积。解: 每个小方格的面积为1 厘米2。图(1) 可分成四个凸出块和一个中间块,这五块的面积都是224( 厘米2) 。图(1) 的面积为4520(厘米2) 。图(2) 可以看成是从长7 厘米、宽 6 厘米的长方形中,“挖掉”4 个边长为 2 厘米的正方形。它的面积等于76-(2 2)4=26(厘米2) 。图(3) 像个宝鼎,竖行分割,从左至右分成五块,每块面积依次为2,5,3,5,2 厘米2,总面积为2535217(厘米2) 。例 3 中分割成正方形、 长方形的方法很多, 因而具体计算面积的方法也很多。由于图形内所含方格数不多, 所以也可以通过数图中小
5、方格的数目来求得面积。例 4 一个长方形的周长是22 厘米。如果它的长和宽都是整数厘米,那么这个长方形的面积 (单位: 厘米2) 有多少种可能值?最大、 最小各是多少?解:因为长方形的周长是22 厘米,所以它的长、宽之和是22211(厘米)。考虑到长、宽都是整数厘米,只有如下情形:所以,这个长方形的面积有五种可能值:10,18,24,28,30 厘米2。最大是 30 厘米2,最小是 10 厘米2。练习 27 1. 甲、乙两块地都是长方形,且一样长。(1) 如果甲地面积是乙地面积的2 倍,那么甲地的宽是乙地的宽的多少倍?(2) 如果甲地的宽是乙地的宽的3 倍,那么甲地面积是乙地面积的多少倍?2.
6、 求下列各图的面积。 ( 单位:厘米 ) 3. 把边长为 40 米的正方形运动场扩为长60 米、宽 50 米的长方形运动场。此运动场面积扩大了多少?周长增加了多少?4. 一个正方形的面积是144 米2。 如果它被分成六个相同的长方形(如左下图 ) ,那么,其中一个长方形的面积和周长各是多少?5. 右上图是用 30 根长 4 厘米的小棍摆成的图形。这个图形的面积是多少?用这些小棍摆成的面积最大的直角多边形比这个图形的面积大多少?6. 左下图的面积是 52 厘米2,其中每个小方格都是一个正方形。这个图形的外沿的周长是多少?7. 右上图由 11个同样的正方形组成。 如果这个图形的周长是96厘米,那么
7、它的面积是多少?答案与提示练习 27 1. (1) 2 倍;(2) 3 倍。2. (1) 120 厘米2;(2) 60 厘米2。3.1400 米2,60 米。解: 6050-4040=1400(米2) ,(6050)2-404=6(米) 。4.24 米2,20 米。解: 1446=24(米2) 。因为 144=1212,所以正方形边长是12 米。一个长方形的周长 =(122123)2=20(米) 。5.224 厘米2;672 厘米2。提示:题图含有 14 个边长为 1 小棍的正方形; 最大图形为长 8 小棍、宽 7 小棍的长方形。6.56 厘米。解: 每个小方格的面积 =5213=4=22(厘米2),所以每个小方格的边长为 2 厘米,题图周长为56 厘米。7.176 厘米2。解:周长由 24个小正方形的边长组成, 小正方形边长为9624=4(厘米)。所以图形面积为4411=176(厘米2) 。