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1、函数的概念型函数的概念型问题归类问题归类分析分析 湖南祁湖南祁东东育育贤贤中学中学 周友良周友良 421600湖南省祁东县洪桥镇一中 徐秋蓉函数概念的复习当然应该从函数的定义开始函数有二种定义，一是变量观点下的定 义，一是映射观点下的定义复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构 成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运 用具体要求是： 1深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数 与其反函数的关系 2系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法在熟练有关技能的 同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用
2、 3通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本 质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基 础 本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体 上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式 的函数，会求其反函数 本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对 应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指 导其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式 等知识，还要用到换元思想、方程思
3、想等与函数有关概念的结合 函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会 做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类 型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础复习的重点是求得对这些 问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题 深化对函数概念的认识深化对函数概念的认识 例例 1下列函数中，不存在反函数的是 （ ）分析：分析：处理本题有多种思路分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因 为过程太繁琐 从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在 其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此
4、可作出给定函数的图象，用数形结合法作 判断，这是常用方法，请读者自己一试 此题作为选择题还可采用估算的方法对于 D，y=3 是其值域内一个值，但若 y=3， 则可能 x=2(21)，也可能 x=-1(-1-1)依据概念，则易得出 D 中函数不存在反函数于 是决定本题选 D 说明：说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关 键 由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然 成了函数概念复习中的重要课题 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法 1求函数定义域的基本类型和常用方法 由给定函数解析
5、式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的 x 的取 值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练例例 2已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： f x分析：分析：x 的函数 f(x )是由 u=x 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中 x 是22自变量，u 是中间变量由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知 0u2，即0x 2求 x 的取值范围2解：解：(1)由 0x 2， 得 2说明：说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出 f(x)的解析式，由 f(x)的定 义域求函数 fg(x)的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法(
6、2)是二种类 型的综合 求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义 域，后面还会涉及到 2求函数值域的基本类型和常用方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类： (1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些 “运算”而得函数的值域 3求函数解析式举例 例例3已知 xy0，并且 4x -9y =36由此能否确定一个函数关系 y=f(x)？如果能，22求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由分析分析： 4x -9y =36 在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数22
7、关系 y=f(x)，但加上条件 xy0 呢？所以因此能确定一个函数关系 y=f(x)其定义域为(-，-3)(3，+)且不难得到其值 域为(-，0)(0，) 说明：说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系任何一个函数的 解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式求函数解 析式还有两类问题：(1)求常见函数的解析式由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数， 对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定 其解析式 (2)从生产、生活中产生的函数关系的确定这要把有关学科知识，生活经验与函数 概念结合起来。例 4某
8、公司生产一种产品，每年需投入固定成本万元，此外，每生产 100a)20( a件这种产品还需增加投资万元，经市场预测，知市场对这种产品的年需求量为 800 件，2a且当售出的这种产品的数量为(单位：百件)时，销售所得收入函数为(万元)。t28)(2ttxR若该公司这种产品的年产量为(单位：百件，)，试把该公司生产并销售这种x0x产品的年利润表示为当年产量的函数；)(xfx该公司的产量多大时，当年所得利润最大？解：时，产品全售出，当时，产品只能售出 800 件，故利润函数为80 x8x )8(22888)80(2218)(22xxaaxxaaxxxf即 )8(322)80(2821)(2xaxax
9、axax xf 时， 当时。Q80 xaxaxxf2821)(22821228aax 又 ， ，取最大值。Q20 a8287a)(xf。 而当时，3258282821222 aaaaa8x。 ，axaaxf532232)(Q08)532(325822 aaaa即 ， 当年产量为件时，利润最大；aaa53232582 28a例 5、已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T=5，函数 y=f(x)(1x1)是 奇函数，又知 y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在 x=2 时， 函数取得最小值，最小值为5. (1)证明：f(1)+f(4)=0; (2)试求 y
10、=f(x),x1,4的解析式； (3)试求 y=f(x)在4，9上的解析式. 解：.(1)证明：y=f(x)是以 5 为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又 y=f(x) (1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0. (2)解：当 x1,4时，由题意，可设 f(x)=a(x2)25(a0),由 f(1)+f(4)=0 得 a(12)25+a(42)25=0，解得 a=2,f(x)=2(x2)25(1x4).(3)解：y=f(x)(1x1)是奇函数，f(0)=f(0),f(0)=0,又 y=f(x) (0x1)是一 次函数，可设 f(x)=kx(0x1
11、),f(1)=2(12)25=3,又 f(1)=k1=k,k=3.当0x1 时，f(x)=3x,当1x0 时，f(x)=3x,当 4x6 时，1x51,f(x) =f(x5)= 3(x5)=3x+15,当 6x9 时，1x54,f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25.f(x)=. )96( 5)7(2)64( 1532xxxx例 6、动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次 经过 B、C、D 再回到 A，设 x 表示 P 点的行程，f(x)表示 PA 的长，g(x)表示ABP 的面积，求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简 图. 解：(1)如原题
12、图，当 P 在 AB 上运动时，PA=x;当 P 点在 BC上运动时，由 RtABD可得 PA=;当 P 点在 CD 上2) 1(1 x运动时，由 RtADP 易得 PA=;当 P 点在 DA 上运动时，PA=4x,故 f(x)的表2)3(1x达式为：f(x)=)43( 4)32( 106)21 ( 22) 10( 22xxxxxxxxxx(2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时，ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也 有不同的方法，因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解.如原题图，当 P 在线段 AB 上时，ABP 的面积 S=0；当 P 在 BC 上时，即 1x2时，SABP=ABBP=(x1） ；当 P 在 CD 上时，即 2x3 时，SABP=11=；21 21 21 21当 P 在 DA 上时，即 3x4 时，SABP=(4x).21故 g(x)=)43( )4(21)32( 21)21 ( ) 1(21) 10( 0xxxxxx电子邮箱 ,手机号码 13037341167；电话 07342518006湖南祁东育贤中学 周友良 421600
