函数与基本初等函数的疑难解析

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1、学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 36第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数2.12.1 映射、函数、反函数映射、函数、反函数 一、知识导学一、知识导学1.映射：一般地，设 A、B 两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f：AB.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的对应法则)2.函数： 设 A，B 都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合 A 中每一个元f素，在集合 B 中都有唯一的元素和它

2、对应，且 B 中每一个元素都的原象，这样的对应叫x做从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 .( )yf x其中所有的输入值组成的集合 A 称为函数定义域.x( )yf x对于 A 中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合xyy称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数 y=f(x)(xA)的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x=f-1(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么 x=f-1(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数叫做函数 y=f(x)(xA

3、)的反函数，记作 x=f-1(y). 我们一般用 x 表示自变量，用 y 表示函数，为此我们常常对调函数 x=f-1(y)中的字母 x,y，把它改写成 y=f-1(x) 反函数 y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知二、疑难知识导析识导析1.对映射概念的认识(1) 与 是不同的，即 与 上有序的.或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值.集 合 A 中每一个输入值，在集合 B 中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合 B 中有剩留元 素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合

4、 A，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合. 2.对函数概念的认识（1）对函数符号 的理解知道 y=与 的含义是一样的，它们都表示 是 ( )f x( )f x( )f x的函数，其中 是自变量，是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.( )f x(2)注意定义中的集合 A，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； （3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 363.对反函数概念的认识（1）函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；( )f x（2）反函数的定义域和值域分别是原

5、函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不 能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于 y=x 对称. 三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 11设 Ma，b，c，N2,0,2,求（1）从 M 到 N 的映射种数；（2）从 M 到 N 的映射满足 (a)(b)f(c),试确定这样的映射的种数.fff错解错解：（1）由于 Ma，b，c，N2,0,2，结合映射的概念，有，共 6 个映射220022 0 ,2 ,2 ,2,0 ,2 222220aaaaaa bbbbbb cccccc (2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况2 0 2a

6、b c 错因错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清 正解正解：（1）由于 Ma，b，c，N2,0,2，结合映射的概念，有 一共有 27 个映射（2）符合条件的映射共有 4 个0222 ,2,2,0 ,0,2220aaaa bbbbcccc 例例 22已知函数的定义域为0，1，求函数的定义域( )f x(1)f x 错解错解：由于函数的定义域为0，1，即，( )f x01x112x 的定义域是1，2(1)f x 错因错因：对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在( )f x( ( )f u x这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.( )f x

7、x( ( )f u x( )u x正解正解：由于函数的定义域为0，1，即满足( )f x01x(1)f x 011x ，的定义域是1，010x (1)f x 例例 33已知：，求.*,xN5(6)( )(2)(6)xxf xf xx(3)f学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 36错解错解： ，5(6)( )(2)(6)xxf xf xx(2)(2)53f xxx故，330.5(6)( )3(6)xxf xxx(3)f错因错因：没有理解分段函数的意义，的自变量是 3，应代入中去，而不是代入(3)f(2)f x 5 中，只有将自变量化为不小于

8、6 的数才能代入解析式求解.x正解正解： ，5(6)( )(2)(6)xxf xf xx7-52 (3)f(32)(5)ff(52)(7)ff 例例 44已知的反函数是，如果与的图像有交点，那么交点必在( )f x1( )fx( )f x1( )fx直线上，判断此命题是否正确？ yx 错解错解：正确 错因错因：对互为反函数的图像关于直线对称这一性质理解不深，比如函数yx的图像的交点中，点不在直线上，由此可以1 161()log16xyyx与1 11 1( , ),2 44 2（，）yx说明说明“两互为反函数图像的交点必在直线上”是不正确的.yx 例例 55求函数，的值域.2( )46yf xx

9、x1,5)x错解错解：22(1)14 163,(5)545611ff Q又，的值域是1,5)x( )f x311，错因错因: :对函数定义中，输入定义域中每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应，错误地理解为 x 的两端点时函数值就是 y 的取值范围了.正解正解：配方，得22( )46(2)2yf xxxx，对称轴是当时，函数取最小值为2，1,5)x2x 2x (2)f( )(5)11f xf的值域是( )f x211， 例例 66已知，求函数的解析式.( )34f xx1(1)fx错解错解：由已知得(1)3(1)437f xxx学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考

10、成就未来！ 高考网高考网 36即，37,yx7 3yx1(1)fx7 3x 错因错因：将函数错误地认为是的反函数，是由于对函数表达式理解不透1(1)fx(1)f x 彻所致，实际上与并不是互为反函数，一般地应该由先求(1)f x 1(1)fx( )f x，再去得到.1( )fx1(1)fx正解正解：因为的反函数为，( )34f xx1( )fx4 3x 所以1(1)fx(1)43 33xx113x 例例 77根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知是二次函数，若，求.( )f x(0)0,(1)( )1ff xf xx( )f x（2）已知，求(1)2fxxx( )f x（3）若满足求( )f

11、 x1( )2 ( ),f xfaxx( )f x解解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设由于得，( )f x2(0)axbxca(0)0f2( )f xaxbx又由，(1)( )1f xf xx22(1)(1)1a xb xaxbxx即 22(2)(1)1axab xabaxbx因此：211021abb aabab ( )f x211 22xx(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解 设22( )(1)2(1)1(1)f uuuuu （）( )f x21x 1x （3）由于为抽象函数，可以用消参法求解( )f x用代可得：1 xx11( )2 ( ),ff xaxx与

12、 1( )2 ( )f xfaxx联列可消去得：.1( )fx( )f x2 33aax x1(0),1(1)uxxxuu学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 36点评点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知( )f x表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. ( )f g x 例例 88 已知，试求的最大值.xyx6232222yx 分析分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数22yx 22yx 然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求,29)3(21)(

13、2xxfx02y出最大值.解 由 得xyx62322. 20, 0323, 0.3232222xxxyxxyQ又,29)3(2132322222xxxxyx当时，有最大值，最大值为2x22yx . 429)32(212点评点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 得 xyx62322,32322xxy,29)3(2132322222xxxxyx当时，取最大值，最大值为3x22yx 29这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅02y能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知 条件，又要注意次要

14、条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解 题. 例例 99设是 R 上的函数，且满足并且对任意的实数都有( )f x(0)1,f, x y，求的表达式.()( )(21)f xyf xyxy( )f x解法解法一一：由，设，(0)1,f()( )(21)f xyf xyxyxy得，所以(0)( )(21)ff xxxx( )f x21xx解法二解法二：令，得0x (0)(0)(1)fyfyy 学而思教育学而思教育学习改变命运学习改变命运 思考成就未来！思考成就未来！ 高考网高考网 36即()1(1)fyyy 又将用代换到上式中得yx( )f x21xx点评点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量 相等代入，再用已知条件，可求出未知的函