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1、当 f(x)=x 时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子： an+1=(aan+b)/(can+d) 注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。 我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了 x=(ax+b)/(cx+d) 令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 令此方程的两个根为 x1，x2， （1）若 x1=x2 则有 1/(an+1-x1)=1/(an-x1)+p 其中 P 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 注：如果有能力，可
2、以将 p 的表达式记住，p=2c/(a+d) （2）若 x1x2 则有(an+1-x1)/(an+1-x2)=q(an-x1)/(an-x2) 其中 q 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。 注：如果有能力，可以将 q 的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2) 简单地说就是在递推中令 an=x 代入 an+1也等于 x 然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出） 我还是给几个具体的例子吧： 1。已知 a(1)=m. a(n+1)=a*a(n)+b/c*a(n)+d 求 an 的通项 a(n)和 a
3、(n+1)分别表示数列的第 n 项和第 n+1 项 解：这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题. 将原递推式中的 an与 an+1都用 x 代替得到方程 x=(ax+b)/(cx+d) 即 cx+(d-a)x-b=0 记方程的根为 x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根) 原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx 所以-x=(b-dx)/(a-cx),将 x1,x2 代入得到 -x1=(b-dx1)/(a-cx1) -x2=(b-dx2)/(a-cx2) 将递推式两边同时减去 x1 得到 an-1-x1=(a-cx1)an+b-dx1/(can+d)
4、 即 an-1-x1=(a-cx1)an+(b-dx1)/(a-cx1)/(can+d) 将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到: an-1-x1=(a-cx1)(an-x1)/(can+d) 同理:an-1-x2=(a-cx2)(an-x2)/(can+d) 两式相除得到(an+1-x1)/(an+1-x2)=(a-cx1)/(a-cx2)*(an-x1)/(an-x2) 从而(an-x1)/(an-x2)是等比数列 (an-x1)/(an-x2)=(m-x1)/(m-x2)*(a-cx1)/(a-cx2)(n-1) 所以 an=x2*(m-x1)/(m-x2)*(a-cx1)/(
5、a-cx2)(n-1)-x1/(m-x1)/(m-x2)*(a-cx1)/(a-cx2)(n-1)-1 2。An =2/A(n-1)+A(n-1)/2 求 An 通项 解：利用不动点来求通项: 设 f（x）=2/x+x/2 当 f（x）=x 时 x=-2，2，此点为不动点 An-2=A(n-1)-22/2A(n-1) An-(-2)=A(n-1)-(-2)2/2A(n-1) 两式相除 An-2 =A(n-1)-22 An+2 A(n-1)+22 发现规律了吗？ 此时再设Bn=（An-2）/(An+2 ) B1=（4-2）/(4+2)=1/3 递推式为：Bn =B（n-1）2 所以 Bn=（1/
6、3)2(n-1) 由 Bn 通项和 An 通项的关系 解得：An=2*（1/3)2(n-1)+2 / 1-（1/3)2(n-1) 自己化简试一下吧 补充一下：不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。 可以参看任何一本组合数学的书。由于数列是分式线性变换的迭代，可以和二阶矩阵的乘幂对应，所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解，都是类似的想法。这就是这个题目背后的数学内容 具体的内容大概写起来很长，建议你去查书，组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分。 对于高中生，当然可以从更自然的角
7、度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换，转化为（一个或两个）等比数列求解。 网上找到一篇文章，就是讲线性递推和分式线性递推数列的，会对你有帮助： http:/ 莱昂纳多斐波那契（11751250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有算盘书、实用几何和四艺经等。在 1202 年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示
8、第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。 现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法特征根法。 特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。 （1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中 A、B 由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中 A、B 由初始值确定。（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，
9、对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。 这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2分群数列 将给定的一个数列：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，依
10、次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），我们通常称此数列为分群数列。 一般地，数列的分群数列用如下的形式表示：（），（），（），其中第 1 个括号称为第 1 群，第 2 个括号称为第 2 群，第 3 个括号称为第 3 群，第个括号称为第群，而数列称为这个分群数列的原数列。如果某一个元素在分群数列的第个群中，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群中的第个元素。 值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。如对数列分群，还可以得到下面的分群数列： 第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）； 第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）等等。 3周期数列 对
11、于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是从第项起的周期为 T 的周期数列。若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。 周期数列主要有以下性质： （1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集； （2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）； （3）如果 T 是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期； （4）如果 T 是数列的最小正周期，M 是数列的任一周期，则必有 T|M，即 M=（）； （5）已知数列满足（为常数），分别为的前项的和与积，若，则，； （6）设数列是整数数列，是某个取定大于 1 的自然数，若是除以后的余数，即，且，则称数列是关于的模数列，记作。若模数列是周期的，则称是关于模的周期数列。 （7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。
