《【数学】新版3年高考2年模拟：第8章 立体几何(2010年11月最新更新)第3节 空间向量在立体几何中的应用(20》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】新版3年高考2年模拟：第8章 立体几何(2010年11月最新更新)第3节 空间向量在立体几何中的应用(20（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三第三节节 空空间间向量在立体几何中的向量在立体几何中的应应用用第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃2010 年高考年高考题题一、选择题一、选择题1.1.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理） （11）与正方体1111ABCDABC D的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即 P 到
2、三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D.2.2.（20102010 辽宁理）辽宁理）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是(A)（0,62） (B)（1,2 2）(C) (62,62） (D) （0,2 2）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为
3、 2，a，a，如图，此时a 可以取最大值，可知 AD=3，SD=21a ，则有21a 0;综上分析可知 a（0,62）3.3.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个【答案】D D【解析解析】：本题考查了空间想象能力：本题考查了空间想象能力到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有
4、无数个交点，三个圆柱面有无数个交点，4.4.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（A） 3 4(B) 5 4(C) 7 4(D) 3 4【答案】D D【解析解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E，连结，连结 SESE，过，过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 S
5、ESE 交交SESE 于于 F F，连，连 BFBF，正三角形正三角形 ABCABC， E E 为为 BCBC 中点，中点， BCAEBCAE，SABCSABC， BCBC面面 SAESAE， BCAFBCAF，AFSEAFSE， AFAF面面 SBCSBC，ABFABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角，由正三角形边长所成角，由正三角形边长 ABCSEFABCDA1B1C1D1O3 3， 3AE ，AS=3AS=3， SE=SE=2 3，AF=AF=3 2， 3sin4ABF5.5.（20102010 全国卷全国卷 1 1 文）文） （9）正方体ABCD-1111ABC
6、 D中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（A） 2 3（B）3 3（C）2 3（D）6 3【答案】D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC1D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析 1】因为 BB1/DD1,所以 B1B与平面 AC1D所成角和 DD1与平面AC1D所成角相等,设 DO平面 AC1D，由等体积法得11D ACDDACDVV,即 1111 33ACDACDSDOSDD.设 DD1=a,则 122 11133sin60( 2 )2222ACDSAC ADaaog,211 22
7、ACDSAD CDag.所以13 1 23 33ACDACDSDDaDOaSag,记 DD1与平面 AC1D所成角为,则13sin3DO DD,所以6cos3.【解析 2】设上下底面的中心分别为1,OO；1O O与平面AC1D所成角就是B1B与平面AC1D所成角，1 11 136cos1/32OOOODOD6.6.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) 2 3 3(B)4 3 3(C) 2 3 (D) 8 3 37.7.（20102010 全国卷全国卷 1 1
8、 理）理） （7）正方体 ABCD-1111ABC D中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为（A） 2 3（B）3 3（C）2 3（D）6 38.8.（20102010 四川文）四川文）（12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（A）17arccos25R （B）18arccos25R（C）1 3R （D）4 15R【答案】A【解析】由已知，AB2R,BCR,故tanBAC1 2cosBAC2 5 5连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC4 5 5R，同理AN4
9、5 5R，且MNCD而AC5R,CDR故MN：CDAN:AC MN4 5R，连结OM、ON，有OMONR于是cosMON22217 225OMONMN OM ONg所以M、N两点间的球面距离是17arccos25R二、填空题二、填空题1.1.（20102010 江西理）江西理）16.如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S，2S，3S，则1S，2S，3S的大小关系为 。【答案】 321SSS【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为
10、 1，2，3 得321SSS。2.2.（20102010 北京文）北京文） （14）如图放置的边长为 1 的正方形PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是( )yf x，则( )f x的最小正周期为 ；( )yf x在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 。【答案】4 1说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。3.3.（201
11、02010 北京理）北京理） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是( )yf x，则AB( )f x的最小正周期为 ；( )yf x在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 【答案】4 1说明：说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。4.4.（20102010 四川文）四川文） （15）如图，二面角的大小是 60，线段.，l ABBl与 所成的角为 3
12、0.则与平面所成的角的正弦值是 .ABlAB【答案】3 4【解析】过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角的平面角，为 60l 又由已知，ABD30连结CB，则ABC为与平面所成的角AB设AD2，则AC，CD13AB40sin30ADsinABC3 4AC AB5.5.（20102010 湖北文数）湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是_cm.【答案】4【解析】设球半径为 r，则由可得,解3VVV和和和3322
13、4863rrrr得 r=4.6.6.（20102010 湖南理数）湖南理数）13图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20的几何体的三视3cm图，则 h cmABC D7.7.（20102010 湖北理数）湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是 cm。【答案】4【解析】设球半径为 r，则由可得3VVV和和和3,解得 r=4.3224863rrrr8.8.（20102010 福建理数）福建理数）12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 【答案】来源:Z
14、xxk.Com6+2 3【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为。3242 343 2 16 6+2 3【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。三、解答题三、解答题1.1.（20102010 辽宁文）辽宁文） （19） （本小题满分 12 分）如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCC B是菱形，11BCAB（）证明：平面1ABC平面11ABC；（）设D是11AC上的点，且1/AB平面1BCD，求11:AD DC的值.解：（）因为侧面 BCC1B1是菱形，所以11BCCB又已知BB
15、CBABACB1111,且所又CB1平面 A1BC1，又CB1平面 AB1C ，所以平面CAB1平面 A1BC1 .（）设 BC1交 B1C 于点 E，连结 DE，则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线，因为 A1B/平面 B1CD，所以 A1B/DE.又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点.即 A1D：DC1=1.2.2.（20102010 辽宁理）辽宁理） （19） （本小题满分 12 分）已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点.（）证明：CMSN；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的
