《直线与圆的方程综合题、典型题[1]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与圆的方程综合题、典型题[1]（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、直线与圆的方程综合题、典型题、高考题主讲：曹老师 2012 年 4 月 301 1、已知、已知mR，直线，直线l：2(1)4mxmym和圆和圆C：2284160xyxy（1 1）求直线）求直线l斜率的取值范围；斜率的取值范围；（2 2）直线）直线l能否将圆能否将圆C分割成弧长的比值为分割成弧长的比值为1 2的两段圆弧？为什么？的两段圆弧？为什么？解析：解析：（1）直线l的方程可化为224 11mmyxmm，直线l的斜率21mkm，因为21(1)2mm ，所以21 12mkm，当且仅当1m 时等号成立所以，斜率k的取值范围是1 1 2 2， （2）不能由（1）知l的方程为(4)yk x，其中1
2、2k 圆C的圆心为(42)C，半径2r 圆心C到直线l的距离 221d k 由1 2k ，得415d，即2rd 从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于2 3所以l不能将圆C分割成弧长的比值为1 2的两段弧2 2、已知圆、已知圆 C：，是否存在斜率为，是否存在斜率为 1 的直线的直线 l，使，使 l 被圆被圆 C 截得的弦截得的弦044222yxyxAB 为直径的圆过原点，若存在求出直线为直径的圆过原点，若存在求出直线 l 的方程，若不存在说明理由。的方程，若不存在说明理由。解析：圆 C 化成标准方程为2223)2() 1(yx假设存在以 AB 为直径的圆 M，圆心 M 的
3、坐标为（a，b）由于 CMl，kCMkl= 1 kCM=，112 ab即 a+b+1=0，得 b= a1 直线 l 的方程为 yb=xa，即 xy+ba=0yxMABCOCM= 23 ab以 AB 为直径的圆 M 过原点，OMMBMA，2)3(92222abCMCBMB222baOM 2222)3(9baab把代入得 ，0322 aa123aa或当此时直线 l 的方程为 xy4=0；25,23ba时当此时直线 l 的方程为 xy+1=00, 1ba时故这样的直线 l 是存在的，方程为 xy4=0 或 xy+1=0评析：此题用评析：此题用, ,联立方程组，根与系数关系代入得到关于联立方程组，根与
4、系数关系代入得到关于 b b 的方程比较简单的方程比较简单0OA OB uu u r uuu rg3 3、已知点、已知点 A(2，1)和和 B(2，3)，圆，圆 C：x2y2 = m2，当圆，当圆 C 与线段与线段 AB 没有公共点时，没有公共点时，求求 m 的取值范围的取值范围. 解：过点 A、B 的直线方程为在 l：xy1 = 0, 作 OP 垂直 AB 于点 P，连结 OB.由图象得：|m|OP 或|m|OB 时，线段 AB 与圆 x2y2 = m2无交点. （I）当|m|OP 时，由点到直线的距离公式得：，即. 22|m|2|1 |m|22m22（II）当OB 时, m,22|32|1
5、3mm即 . 13m13m或当和时， 22m220m13m13m且与圆 x2y2 = m2与线段 AB 无交点.4、 已知动圆已知动圆Q与与x轴相切，且过点轴相切，且过点0,2A.求动圆圆心求动圆圆心Q的轨迹的轨迹M方程；方程；设设B、C为曲线为曲线M上两点，上两点，2,2P，PBBC，求点，求点C横坐标的取值范围横坐标的取值范围.PBAO解： 设,P x y为轨迹上任一点，则2220yxy （4 分）化简得：2114yx 为求。 （6 分）设2 111,14B xx，2 221,14C xx，0PB BCuu u ruuu r21 116 2xxx （8 分）210x 或26x 为求 （12
6、 分）5、将圆将圆02222yxyx按向量按向量(1,1)ar=-平移得到圆平移得到圆O，直线，直线l与圆与圆O相交于相交于A、B两点，若在圆两点，若在圆O上存在点上存在点C，使，使0,.OCOAOBOCal+=uuu ruuu ruuu rruuu rr且求直线求直线l的方程的方程.解：由已知圆的方程为22(1)(1)2xy+-=，按(1,1)ar=-平移得到22:2O xye+=.(),OCOAOB= -+uuu ruuu ruuu r22() ()0OC ABOAOBOBOAOAOBuuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r= -+-=-=.即OC
7、AB.又OCal=uuu rr，且(1,1)ar=-，1OCk= -.1ABk=. 设:0ABlxym-+=， AB的中点为 D.由()2OCOAOBOD= -+= -uuu ruuu ruuu ruuu r，则2OCOD=uuu ruuu r ，又22,2OCODuuu ruuu r=.O到AB的距离等于2 2.即2 22m=，1m = .直线l的方程为：10xy-=或10xy .6、已知平面直角坐标系、已知平面直角坐标系中中 O 是坐标原点，是坐标原点，圆，圆是是的外接的外接xoy)0 , 8(),32 , 6(BACOAB圆，过点（圆，过点（2，6）的直线）的直线 被圆所截得的弦长为被圆
8、所截得的弦长为l34（1）求圆）求圆的方程及直线的方程及直线 的方程；的方程；Cl（2）设圆）设圆的方程的方程，过圆，过圆上任意一点上任意一点N1)sin7()cos74(22yx)(RN作圆作圆的两条切线的两条切线，切点为，切点为，求，求的最大值的最大值.PCPFPE,FE,CE CFuuu r uuu r解：因为，所以为以为斜边的直角三角形，)0 , 8(),32 , 6(BAOABOB所以圆：C16)4(22yx（2）1）斜率不存在时， ：被圆截得弦长为，所以 ：适合l2x34l2x2）斜率存在时，设 ： 即l)2(6xky026kykx因为被圆截得弦长为，所以圆心到直线距离为 234所
9、以 2 12642 kkk34k02634),2(346:yxxyl即综上， ：或l2x02634 yx（3）设，则2ECFa2| | cos216cos232cos16CE CFCECFuuu r uuu ruuu ruuu rggg在中，由圆的几何性质得RtPCE4cos|x PCPC， 所以，| | 17 16PCMC 32cos由此可得 则的最大值为.916CFCECFCE 16 97、已知圆、已知圆，直线，直线过定点过定点。4)4()3( :22yxC1l)0 , 1 (A（1 1）若）若与圆相切，求与圆相切，求的方程；的方程；1l1l（2 2）若）若与圆相交于与圆相交于丙点，线段丙
10、点，线段的中点为的中点为，又，又与与的交的交1lQ、PPQM1l022:2yxl点为点为，判断，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。NANAM 解：（1）若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。 2 分1l1x若直线斜率存在，设直线为，即。1l1l) 1( xky0kykx由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径 2，即：，)4 , 3(1l2 1432 kkk解之得 5 分43k所求直线方程是， 6 分1x0343yx（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，可设直线方程为0kykx由得 8 分 0022 lykx
11、yx)123,1222( Kk KkN又直线与垂直，由得 11 分CM1l )3(14xkykkxy )124,134(2222kkk kkkM 222 22 2 22 )123() 11222()124() 1134(kk kk kkk kkkANAM13 分为定值。61213111222 2 2kkkkk故是定值，且为 6。 15 分ANAM 8 8、已知、已知eC过点过点) 1 , 1 (P, ,且与且与eM: :222(2)(2)(0)xyrr关于直线关于直线 20xy对称对称. .()()求求eC的方程；的方程；()()设设Q为为eC上的一个动点上的一个动点, ,求求PQ MQuuu
12、 r uuu u r 的最小值；的最小值；()()过点过点P作两条相异直线分别与作两条相异直线分别与eC相交于相交于BA, ,且直线且直线PA和直线和直线PB的倾斜角互的倾斜角互补补, ,O为坐标原点为坐标原点, ,试判断直线试判断直线OP和和AB是否平行是否平行? ?请说明理由请说明理由. .解:()设圆心C( , )a b,则222022 212abb a,解得0 0a b (3 分)则圆C的方程为222xyr,将点P的坐标代入得22r ,故圆C的方程为222xy(5 分)()设( , )Q x y,则222xy,且(1,1) (2,2)PQ MQxyxyuuu r uuu u r=224
13、xyxy=2xy,(7 分)所以PQ MQuuu r uuu u r 的最小值为4(可由线性规划或三角代换求得)(10 分) ()由题意知, 直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设 :1(1)PA yk x ,:1(1)PB yk x , 由221(1) 2yk x xy ,得222(1)2 (1)(1)20kxkk xk (11 分)因为点P的横坐标1x 一定是该方程的解,故可得2221 1Akkxk同理,2221 1Bkkxk,所以(1)(1)2()1BABABA AB BABABAyyk xk xkk xxkxxxxxx=OPk所以,直线AB和OP一定平行(15 分)9、已知过点已知过点的动直线的动直线 与圆与圆：相交于相交于、两点，两点，是是)0, 1(AlC4)3(22 yxPQM中点，中点， 与直线与直线：相交于相交于. .PQlm063 yxN（）求证：当（）求证：当 与与垂直时，垂直时， 必过圆心必过圆心；lmlC（）当（）当时，求直线时，求直线 的方程；的方程；32PQl（）探索（）探索是否与直线是否与直线 的倾斜角有关，的倾斜角有关，ANAM l若无关，请求出其值；若有关，请说明理由若无
