2009全国高考重庆文科数学

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1、20092009 全国高考重庆文科数学全国高考重庆文科数学2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟第卷考生注意：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交

2、回参考公式：如果事件 互斥，那么 如果事件 相互独立，那么 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率以 为半径的球体积： 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1圆心在 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A B C D 【答案】A解法 1（直接法）：设圆心坐标为 ，则由题意知 ，解得 ，故圆的方程为 。解法 2（数形结合法）：由作图根据点 到圆心的距离为 1 易知圆心为（0，2） ，故圆的方程为 解法 3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除 B，D，

3、又由于圆心在 轴上，排除 C。2命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A “若一个数是负数，则它的平方不是正数”B “若一个数的平方是正数，则它是负数”C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【答案】B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数” 。3 的展开式中 的系数是（ ）A20B40C80D160【答案】D解法 1：设含 的为第 ，则 ，令 ，得 ，故展开式中 的系数为 。解法 2：根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的 与 2 分得的次数和

4、为 6，则根据条件满足条件 的项按 3 与3 分配即可，则展开式中 的系数为 。4已知向量 若 与 平行，则实数 的值是（ ）A-2B0C1D2【答案】D解法 1：因为 ，所以 由于 与 平行，得 ，解得 。解法 2：因为 与 平行，则存在常数 ，使 ，即 ，根据向量共线的条件知，向量 与 共线，故 。5设 是公差不为 0 的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =（ ）A B C D 【答案】A解析：设数列 的公差为 ，则根据题意得 ，解得 或 （舍去） ，所以数列 的前 项和 6下列关系式中正确的是（ ）A B C D 【答案】C解析因为 ，由于正弦函数 在区间 上为递增函数，因此

5、，即 。7已知 ，则 的最小值是（ ）A2B C4 D5【答案】C解析因为 当且仅当 ，且 ，即 时，取“=”号。812 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组4 个队） ，则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）A B C D 【答案】B解析：因为将 12 个组分成 4 个组的分法有 种，而 3 个强队恰好被分在同一组分法有 ，故各强队恰好被分在同一组的概率为 。9在正四棱柱 中，顶点 到对角线 和到平面 的距离分别为 和 ，则下列命题中正确的是（ ）A若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为 B若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为 C若侧棱的长大于底

6、面的变长，则 的取值范围为 D若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为 【答案】C解析：设底面边长为 1，侧棱长为 ，过 作 。在 中， ，由三角形面积关系得 设在正四棱柱中，由于 ，所以 平面 ，于是 ，所以 平面 ，故 为点到平面 的距离，在 中，又由三角形面积关系得 于是 ，于是当 ，所以 ，所以 10把函数 的图像 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到图像 若对任意的 ，曲线 与 至多只有一个交点，则 的最小值为（ ）A B C D 【答案】B解析：根据题意曲线 C 的解析式为 则方程 ，即 ，即 对任意 恒成立，于是 的最大值，令 则 由此知函数 在（0，2）上为增函

7、数，在 上为减函数，所以当 时，函数 取最大值，即为 4，于是 。二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案写在答题卡相应位置上11若 是小于 9 的正整数 ， 是奇数 ， 是 3 的倍数 ，则 【答案】 解析： ，则 所以 ，所以 12记 的反函数为 ，则方程 的解 【答案】2解法 1：由 ，得 ，即 ，于是由 ，解得 解法 2：因为 ，所以 135 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答） 【答案】72解析：可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有 种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有 种，则甲、乙两不相邻的排法有 种。1

8、4从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差 （克） （用数字作答） 【答案】2解析：因为样本平均数 ，则样本方差 所以 15已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 【答案】 解法 1：因为在 中，由正弦定理得 则由已知，得 ，即 设点 由焦点半径公式，得 则 记得 由椭圆的几何性质知 ，整理得 解得 ，故椭圆的离心率 解法 2 ：由解析 1 知 由椭圆的定义知，由椭圆的几何性质知 所以 以下同解析 1.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步

9、骤16 （本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分 ）设函数 的最小正周期为 （）求 的最小正周期（）若函数 的图像是由 的图像向右平移 个单位长度得到，求 的单调增区间解：（） 依题意得 ，故 的最小正周期为 .（）依题意得: 由 解得故 的单调增区间为: 17 （本小题满分 13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中：（）至少有 1 株成活的概率；（）两种大树各成活 1 株的概率解: 设 表示第 株甲种大树成活, ; 设 表示第

10、株乙种大树成活, 则 独立,且 （）至少有 1 株成活的概率为:（）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1株的概率为:18 （本小题满分 13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）如题（18）图，在五面体 中， ， ， ，四边形 为平行四边形，平面 ， 求：（）直线 到平面 的距离；（）二面角 的平面角的正切值解法一:（） 平面 , AB 到面 的距离等于点 A 到面 的距离，过点 A 作 于 G，因 ，故 ；又 平面 ，由三垂线定理可知， ，故 ，知 ，所以 AG 为所求直线 AB 到面 的距离。在 中， 由 平面 ，得 AD，从而在 中， 。即直线 到平面 的距离为

11、。（）由己知， 平面 ，得 AD，又由 ，知 ，故 平面 ABFE，所以， 为二面角 的平面角，记为 .在 中, ,由 得, ,从而 在 中, ,故 所以二面角 的平面角的正切值为 .解法二: （）如图以 A 点为坐标原点, 的方向为 的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0)设 可得 ,由 .即 ,解得 ，面 ,所以直线 AB 到面 的距离等于点 A 到面 的距离。设 A 点在平面 上的射影点为 ,则 因 且 ,而 ,此即 解得 知 G 点在 面上,故 G 点在 FD 上., 故有 联立,解得, 为直线 AB 到面 的距离. 而 所以 （）因四边形

12、 为平行四边形,则可设 , .由得 ,解得 .即 .故 由 , 因 , ,故 为二面角 的平面角，又 , , ,所以 19 （本小题满分 12 分， （）问 7 分， （）问 5 分）已知 为偶函数，曲线 过点 ， （）求曲线 有斜率为 0 的切线，求实数 的取值范围；（）若当 时函数 取得极值，确定 的单调区间解: （） 为偶函数,故 即有解得 又曲线 过点 ,得 有 从而 , 曲线 有斜率为 0 的切线，故有 有实数解.即 有实数解.此时有 解得所以实数 的取值范围: （）因 时函数 取得极值,故有 即 ,解得 又 令 ,得 当 时, ,故 在 上为增函数当 时, ,故 在 上为减函数当

13、时, ,故 在 上为增函数20 （本小题满分 12 分， （）问 5 分， （）问 7 分）已知以原点 为中心的双曲线的一条准线方程为 ，离心率 （）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点 的坐标为 ， 是圆 上的点，点 在双曲线右支上，求 的最小值，并求此时 点的坐标解：（）由题意可知，双曲线的焦点在 轴上，故可设双曲线的方程为 ，设 ，由准线方程为 得 ，由 得 解得 从而 ， 该双曲线的方程为 ；（）设点 D 的坐标为 ，则点 A、D 为双曲线的焦点， 所以 ， 是圆 上的点，其圆心为 ，半径为 1，故 从而 当 在线段 CD 上时取等号，此时 的最小值为 直线 CD 的方程为 ，因点 M 在双曲线右支上，故 由方程组 解得 所以 点的坐标为 ；21 （本小题满分 12 分， （）问 3 分， （）问 4 分， （）问 5 分）已知 （）求 的值；（）设 为数列 的前 项和，求证： ；（）求证： 解：（） ，所以 （）由 得 即 所以当 时， 于是 所以 （）当 时，结论 成立当 时，有 所以