《山东师范大学2006-2007学年第二学期期末》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东师范大学2006-2007学年第二学期期末（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、山东师范大学山东师范大学 2006-20072006-2007 学年第学年第二二学期期末考试试题答案及评分标准学期期末考试试题答案及评分标准课程编号：4081102 课程名称：数学分析 适用年级：2006 学制:_4_ 适用专业：应用数学信息计算 试题类别：(A)一、单项选择题：（本题共单项选择题：（本题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）1. 若 则等于 ( A )1( )(0), xdf t dtxxdx( )fxA. B. C. D. 4x4x2 x2 x2. 使得瑕积分收敛的的值为 （ B ）101pdxxpA. B. C. D. 0p 1p
2、1p 1p 3. 已知级数 则级数等于 （ C ）1 21 11( 1)2,5,n nn nnaa 1n naA. 3 B. 7 C. 8 D. 94. 若级数在处收敛, 则此级数在处 ( B )1(2)nn nax1x 4x A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定5. 设, 其中011,0,2( )( )cos,1222 ,1,2n nxxaf xS xan xx xx 则等于 ( D )102( )cos(0,1,),naf xn xdx nL5()2S A. B. C. D. 1 21 23 43 4 二、填空题：（本题共填空题：（本题共 8 小题小题 10 个空
3、格，每空个空格，每空 2 分，共分，共 20 分）分） 1. 实数完备性的六个基本定理为: 单调有界定理, _确界原理, 聚点定理, 区间套定理, 有限覆盖定 理, 柯西收敛准则;2. 数列的上下极限分别为_2_, _0_;1 ( 1)n 3. 计算不定积分;2sin xdx sin2 24xxC4. 设 则;21,1AdxxA 1 25. 级数的和为;11 (2)(12)nnn 1 36. 级数的收敛域为0, 2)_;0ln(1)(1)1nnnxn7. 函数展成的幂级数为2( )xf xex46 212!3!xxxL8. 使得级数条件收敛的的值为; 2 1( 1) (1)nx nnn x10
4、2x三、判断下列反常积分的敛散性判断下列反常积分的敛散性, 若收敛是条件收敛还是绝对收敛若收敛是条件收敛还是绝对收敛(本题共本题共 4 小题，共小题，共 20 分）分）1 1sin xdxx解: 对 有; 1,u 1sincos1 cos2uxdxu而 单调趋于 0 , 故由狄利克雷判别法推知1 x()x 无穷积分是收敛的. 3 1sin xdxxL L L L L由于 2sinsin1cos2,0,),22xxxxxxxx其中 满足狄利克雷判别法的条件, 是收敛的, 12cos21cos 22xtdxdtxt而是发散的. 5 11 2dxxL L L L L因此无穷积分是条件收敛的. 6 1
5、sin xdxxL L L L L2. 2501xdx x解: 由于 12 2 5lim1, 1xxx x 由于, 31,12pL L L L L因此由比较判别法知是发散的. 42501xdx xL L L L L3. 10ln xdx x3解: 此瑕积分的瑕点为. 当取时, 有0x 314p , 31 44 10004lnlnlimlimlim(4)0 xxxxxxxxx 所以瑕积分收敛. 410ln xdx xL L L L L因为在上恒为负, 从而此瑕积分收敛与绝对收敛是等价的, 因此 xxln(0,1瑕积分是绝对收敛的. 610ln xdx xL L L L L4. 10lndx xx
6、解: 此瑕积分的瑕点为. 且0,1xx. 211121002lnlnlndxdxdx xxxxxxL L L L L由于知积分发散, 从而积分是发散的 11lim(1)1,lnxxxx11 2lndx xx11 2lndx xx于是 积分是发散的. 410lndx xxL L L L L四、（本题共（本题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分）1. 级数当为何值时是绝对收敛, 条件收敛或发散的?1 1( 1)npnnnp解: (1) 当时, 由于1p 11lim11pnnpnn4因此级数是绝对收敛的. 31 1( 1)npnnnL L L L L(2) 当时, 考虑
7、函数. 由于01p1 ( )(0)pxf xxx111 ln( ),pxxfxepxx因此当充分大时, . 从而当充分大时, 单调递增, 由此推出, 当充分x( )0fxx1 ( )pxf xxn大时, 单调递减. 又因为 ,11pnn11lim0 npnn所以级数是收敛的.1 1( 1)npnnn另一方面, 因此级数非绝对收敛. 从而当时, 级数是11lim, npnn n 01p条件收敛的. 7L L L L L(3) 又显然当时, , 从而级数是发散的. 90p 11lim0 npnnL L L L L综上所述, 得: 当时, 级数绝对收敛; 当时, 级数条件收敛; 当时, 1p 01p
8、0p 级数发散. 10L L L L L2. 设 证明函数项级数在上一致收敛, 并22 31( )ln(1),1,2,.nuxn xnnL1( )n nux0,1讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性.0,1证明： 对每一个， 易见为上增函数， 故有n)(xun 1 , 0),1ln(1) 1 ()(2 3nnuxunn., 2 , 1Ln又当时， 有不等式 所以1t,)1ln(2tt,1)1ln(1)(22 3nnnxun., 2 , 1Ln5以收敛级数为的优级数， 推得在上一致收敛. 421 n1)(nnxu1)(nnxu 1 , 0L L L L L由于每一个在上连续, 根据和函数的连
9、续性定理与逐项可积定理知, 的和函数)(xun 1 , 01)(nnxu在上连续且可积. 6)(xS 1 , 0L L L L L又由 ,1 22 )1 (2)(222nnxnx xnnxxun., 2 , 1Ln即收敛级数也是的优级数， 推得也在上一致收敛. 21 n1)(nnxu1)(nnxu 1 , 09L L L L L由逐项可微定理知 在上可微. 10)(xS 1 , 0L L L L L五、(本题共两小题，每小题本题共两小题，每小题 7 分，共分，共 14 分分)1. 求函数在处的幂级数展开式, 并确定它收敛于该函数的区间. 0sin( )xtf xdtt0x 解: 因为在内能展开
10、为麦克劳林级数 xxfsin,。 2 210sin121 !nnnxxnL L L L L所以, 2 200000sin11121 !21 !nxxxnnnnnttdtdtt dttnn6 2101,()(21) 21 !nnnxxnn L L L L L从而幂级数收敛于该函数的区间是. 7 2101(21) 21 !nnnx nn(,) L L L L L2. 把函数在上展开成余弦级数, 并推出 .2( )(1)f xx(0,1)22 11 6nn解: 为把展成余弦级数, 对作偶式周期延拓, 由公式知12 0022(1),3axdx611221 000122(1) cos2(1) sin|(
11、1)sinnaxn xdxxn xxn xdxnn411 02204(1)cos|cosxn xn xdxn224 nL L L L L根据收敛定理, 在区间上(0,1)622 114cos( ).3nn xf xn L L L L L当时, 由收敛定理可得0x 22 11411.3nn从而有 . 722 11 6nnL L L L L六、(本题共两小题，每小题本题共两小题，每小题 8 分，共分，共 16 分分)1. 设 为等比数列(公比满足), 试求:12,na aaLL1(0,a q02q(1) 幂级数的收敛半径; (2) 数项级数的和.n na x 12n n nna解: (1) 设 为
12、等比数列(公比满足), 则12,na aaLL1(0,a q02q, 从而有 11n naa q11 1 1limlimn n nnnnaa qqaa q 所以 幂级数的收敛半径. 4n na x1RqL L L L L(2) 由于数项级数,1 111111( )2222 2n nn nnn nnnnana qanq , 61 11111 222212nnaaaq qqL L L L L7对于级数, 因为 , 所以级数收敛.12n nn11 21lim122nnnn n12n nn令 则有23 1123 2222n nnSL2341123 2222S L所以 , 从而 23111112222S L2S 因此数项级数的和为.
